标准型表达式为y = ax² + bx + c(a≠0) ,a、b、c为常数。其中a决定二次函数图象开口方向与大小。当a>0时,二次函数图象开口向上。比如y = 2x²,a = 2>0,图象开口向上。当a<0时,二次函数图象开口向下。像y = -3x²,a = -3<0,图象开口向下。b与a共同影响对称轴位置 ,对称轴公式为x ...
二、正交替换法 原理与步骤 正交替换法基于实对称矩阵的性质,通过正交变换将二次型化为标准型。步骤如下: 将二次型对应矩阵 ( A ) 对角化,即求其特征值和正交的特征向量。 将特征向量正交化、单位化后组成正交矩阵 ( Q ),通过替换 ( \mathbf{x} = Q\mathbf{y}...
对于一个给定的二次型,我们可以通过一系列的变换将其化为一种标准形式,这就是二次型的标准型。 二次型的标准型定义 二次型的标准型是指经过适当的线性变换,一个二次型可以被化简为一个具有形式为f(x1, x2, ..., xn) = a11x1^2 + a22x2^2 + ... + annnxnn的二次型。在这个标准形式中,系数...
下面，我们以一道题目为例说明计算二次型的标准形的三种方法：配方法合同变换法特征值法 方法一：配方法 配方法的要领是：第一次将所有含有x1的项集中到一起，进行配方，从而消掉含有x1的交叉项，第二次将含有X2的项集中到一起进行配方……直到去掉所有的交叉项.解：将含有x1的项集中起来进行配方：X所经历的线...
也许很多人对二次型化标准型非常熟悉,但是如果问到二次型化标准型有什么用,可能挺多人会愣一愣。这篇文章给大家带来的就是二次型的一个应用——最值求解。 1 二次型化标准型 下面先简单回顾下二次型、标准型、二次型化标准型 1.1 二次型 二次型是指含有 n 个变量 x1,x2,⋯,xn 的二次齐次多项式,...
标准型的形式为。 \[k_1y_1^2+k_2y_2^2+\cdots+k_ny_n^2\] 其中,\(k_1,k_2,\cdots,k_n\)为常数,\(y_1,y_2,\cdots,y_n\)为新的变量。 接下来,我们来具体介绍如何将一个二次型化为标准型。首先,我们需要找到一个合适的线性变换矩阵,通过这个矩阵的作用,将原二次型化为标准型。
(1)对于这个二次型,用正交变换法化二次型为标准型。 对于A=\begin{pmatrix} 2& -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2}&2 \end{pmatrix} ,可求得特征值为 \lambda_{1}=\frac{3}{2} 和\lambda_{2}=\frac{5}{2} 。对应\lambda_{1}=\frac{3}{2} 的特征向量 \alpha_{1}=\begin{pmatrix}...
二次型定义 二次型是一种由实数变量和二次形式构成的数学对象，一般形式为$f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$，其中$x_i$是实数变量。VS 二次型的变量 二次型中的变量$x_i$可以代表各种不同的物理量，如位移、速度、能量等。二次型的标准型的概念 二次型的标准型 将二次型表示为标准形式，即$f(x_1,x...
二次型的标准型和规范型有什么区别？对于相同的二次型，利用配方方法和正交变换方法获取的标准形式并非一成不变。这主要源于配方法存在多种配方方式，从而会导致得到的平方项系数各异。此外，通过正交变换获得的标准形是依赖于正交矩阵A的特征值来确定的，因此其也不具备唯一性。尽管如此，依据惯性定理，我们得知，...
因此将二次型化为标准型的本质就是寻找一组新的基矢 使得二次型 的矩阵 是对角矩阵。我们就是要找到这样的可逆矩阵 , 自然地,新的变量 因此二次型标准化的本质是合同对角化,并非相似对角化。之所以可用正交矩阵相似对角化:第一是因为正交矩阵的转置与逆相等,相似与合同是一回事;二者是因为对称矩阵的特征向量在标...