《常微分方程》,数值解法:龙格库塔法,网上的科普文都不够直观,数学太繁琐,写了一个直观的。 龙格库塔:机器人爬山中的坡度计算器 假设一个地质勘探的人形机器人正在爬一座大山,以测量山体表面的地形。山路崎…
https://www.bilibili.com/video/BV1YJ411x7S1(27分30秒附近)。龙格库塔法属于单步多阶,可以想象为从第n层楼走到第n+1层楼,其中走了m个台阶,即为m步龙格-库塔法。 1.5 微分方程组的解法 在上面已经解决了单一微分方程的求解,实际计算中,大多是微分方程组,下面以二维的微分方程组为例,进一步运用四步R-K...
h = 0.9s 从计算结果可以看出,四阶龙格库塔法(Runge-Kutta)即使在步长很大时,也能保持较高的求解精度,求解精度与Matlab自带的ode45函数相当,相对于改进欧拉算法求解精度有明显提高。 自己编程实现四阶龙格库塔法(Runge-Kutta),相对于直接调用ode45等Matlab自带的龙格库塔法的最大优势在于:可以将求解程序和模型描述文件...
龙格-库塔(Runge-Kutta)法 1.1 龙格-库塔(Runge-Kutta)法的基本思想 Euler公式可改写成 yi1 yi hK1 K1 f ( xi , yi ) 则yi+1的表达式y(xi+1)与的Taylor展开式的前两项 完全相同,即局部截断误差为 O(h 2 ) 。 改进的Euler公式又可改写成 yi 1 yi h 2 (K1 K2 ) K1 f (xi , yi ) K 2...
龙格-库塔方法〔Runge-Kutta〕 3.2Runge-Kutta法 3.2.1显式Runge-Kutta法的一般形式 上节已给出与初值问题(1.2.1)等价的积分形式 (3.2.1) 只要对右端积分用不同的数值求积公式近似就可得到不同的求解初值问题(1.2.1)的数值方法,若用显式单步法 (3.2.2) 当,即数值求积用左矩形公式,它就是Euler法(3.1.2...
龙格-库塔法(Runge-Kutta)是用于模拟 常微分方程的解的重要的一类隐式或显式迭代法。龙格库塔法的家族中的一个成员如此常用,以至于经常被称为“RK4”或者就是“龙格库塔法”。令 初值问题表述如下。 这样,下一个值(yn+1)由现在的值(yn)加上时间间隔(h)和一个估算的斜率...
§ 4 龙格—库塔(Runge—Kutta)方法 1 龙格—库塔方法的基本思想 确定系数以提高精度 2 . RK方法 : 4 阶龙格—库塔公式 要进一步提高精度,必须取更多的点,如取 4 点构造如下形式的公式: 这就是常用的 4 阶龙格—库塔方法(简称 RK 方法). 5 ...
为一个单步 s 级的隐式龙格库塔方法。其中 bi∈R 为待定常数。 综上,我们可以看出系数 aij,bi,ci 完全决定了一个隐式龙格方法,所以我们可以通过一张系数表(Butcher tableau)来表示一种龙格库塔方法,一般记为如下形式 cAbT:=c1a11a12⋯a1sc2a21a22⋯a2s⋮⋮⋮⋱⋮csas1as2⋯assb1b2⋯bs 值...
Σ，….欧拉（欧拉（Euler）方法）Euler方法是求解初值问题的最简单方法，方法是求解初值问题的最简单方法，方法是求解初值问题的最简单方法精度差。然而对理论分析很有用。精度差。然而对理论分析很有用。Runge-Kutta法是对Euler法的改进法是对法的改进 Euler方法：方法：ym+1=ym+hK1+O(h)K1=f(xm,ym)2 ...