集合论或“集论”,是研究集合(由一堆抽象个体元素(物件”)构成的整体)的数学理论;包含了集合、元素和归属关系等最基本的数学概念。在大多数现代数学的公式化中,集合论提供了要“如何描述数学“因素及关系”的语言。集合论和逻辑(与一阶逻辑),共同构成了数学的公理化基础;以未定义的"集合"与集合的“元素”等术语...
康托尔在集合论中,对无穷概念作了精确的数学表述,揭示了无穷集合的本质特征:无穷集合的部分等势于整体。 ”势“的概念的引入,使康托尔有了确定同一等级或者同一层次的无穷集合的尺度。实数不可数的证明揭示了实数连续统和有理数集之间实质性的差别,即实数集与有理数集是两个不同层次的无穷集。不同等级的无穷集...
1873年，康托尔发表了论文，集合论正式建立。主要思想是认可了实在无穷，存在全体自然数。康托尔用了6篇论文来论证集合论思想，还引入了超穷数理论和可数集。数学家们把他的6篇论文翻了好几遍，然后就分成了两个派别，以克罗内克为代表的大部分数学家认为集合论是“神秘主义”，康托尔对无穷的研究是病态的，支...
一般的认为,现代数学的基础可以建立在集合论的公理体系上。这个公理体系是加入了选择公理的策梅洛-弗兰克(ZF)公理系统,简称ZFC公理系统。本文简要地介绍ZFC集合论中各公理的意义及作用。 首先,ZFC集合论中的公理大致分为3组: 第一组: 外延公理 第二组: 子集公理模式...
当1903 年弗雷格和罗素的书使得集合论的悖论为数学界广泛知晓时，庞加莱利用这些悖论对逻辑主义和形式主义提出了批评。他对悖论的分析引导他造出了一个新概念：直谓性，并且坚持在数学中必须避免非直谓的定义。非形式地说、一个定义是非直谓的，如果它在引入一个元素时，已经参照了一个整体，而这个整体已经包括了...
一、集合论的诞生 集合论是德国著名数学家康托尔于19世纪末创立的。 十七世纪数学中出现了一门新的分支:微积分。在之后的一二百年中这一崭新学科获得了飞速发展并结出了丰硕成果。其推进速度之快使人来不及检查和巩固它的理论基础。十九世纪初,许多迫切问题得到解决...
哥德尔证明选择公理和连续统假设协调性的方法是定义一种类型的集合，叫做可构成集。假如把集合论中集合的概念完全用可构成集合的概念来理解，那么集合论中的一些概念就会有相应的改变。但是有一些概念不会改变，这种概念我们称为绝对的，特别是可构成性这个概念是绝对的。所以“一切集合是可构成的”，这称为可构成性...
函数的定义、性质、复合与反函数等内容构成了集合论中函数理论的核心部分。集合论的公理系统为了形式化地描述集合论中的概念和运算，数学家们建立了一系列的公理系统。其中最为著名的是策梅洛-弗兰克尔（ZF）公理系统，它包含了一系列关于集合存在性和性质的公理，如空集公理、并集公理、幂集公理等。这些公理构成了...
直到1876-1883年,康托尔发表了一系列有关集合论的文章,奠定了集合论的基础。1904-1908年,策墨罗(Zermelo)提出了集合论的公理系统,统一了数学哲学中的一些矛盾。集合论的观点渗透到古典分析、泛函、概率、函数以及信息论、排队论等现代数学各个领域。典型的应用如数据库原理中的关系代数、粗糙集理论、模糊集理论。