集合论或“集论”,是研究集合(由一堆抽象个体元素(物件”)构成的整体)的数学理论;包含了集合、元素和归属关系等最基本的数学概念。在大多数现代数学的公式化中,集合论提供了要“如何描述数学“因素及关系”的语言。集合论和逻辑(与一阶逻辑),共同构成了数学的公理化基础;以未定义的"集合"与集合的“元素”等术语...
康托尔在集合论中,对无穷概念作了精确的数学表述,揭示了无穷集合的本质特征:无穷集合的部分等势于整体。 ”势“的概念的引入,使康托尔有了确定同一等级或者同一层次的无穷集合的尺度。实数不可数的证明揭示了实数连续统和有理数集之间实质性的差别,即实数集与有理数集是两个不同层次的无穷集。不同等级的无穷集...
1873年，康托尔发表了论文，集合论正式建立。主要思想是认可了实在无穷，存在全体自然数。康托尔用了6篇论文来论证集合论思想，还引入了超穷数理论和可数集。数学家们把他的6篇论文翻了好几遍，然后就分成了两个派别，以克罗内克为代表的大部分数学家认为集合论是“神秘主义”，康托尔对无穷的研究是病态的，支...
哥德尔证明选择公理和连续统假设协调性的方法是定义一种类型的集合，叫做可构成集。假如把集合论中集合的概念完全用可构成集合的概念来理解，那么集合论中的一些概念就会有相应的改变。但是有一些概念不会改变，这种概念我们称为绝对的，特别是可构成性这个概念是绝对的。所以“一切集合是可构成的”，这称为可构成性...
一般的认为,现代数学的基础可以建立在集合论的公理体系上。这个公理体系是加入了选择公理的策梅洛-弗兰克(ZF)公理系统,简称ZFC公理系统。本文简要地介绍ZFC集合论中各公理的意义及作用。 首先,ZFC集合论中的公理大致分为3组: 第一组: 外延公理 第二组: 子集公理模式...
外延公理、替代公理和无穷公理是集合论的三个基本公理，它们为我们构建和操作集合提供了坚实的基础。通过外延公理，我们可以确定集合的相等关系；替代公理允许我们根据映射或条件定义新的集合；无穷公理确保了我们在集合论中能够处理无限数量的集合。集合论的应用广泛，不仅在数学领域起着重要作用，还在计算机科学、物理学等...
这就称为概括原理,它是对于集合的逻辑主义理解的基础,这样理解的集合论称为朴素集合论、虽然其朴素性是后来才看出来的。这个原理被认为是一个基本的逻辑法则,所以,整个集合理论只不过是初等逻辑的一部分。 策墨罗-罗素悖论表明,概括原理是...
直到1876-1883年,康托尔发表了一系列有关集合论的文章,奠定了集合论的基础。1904-1908年,策墨罗(Zermelo)提出了集合论的公理系统,统一了数学哲学中的一些矛盾。集合论的观点渗透到古典分析、泛函、概率、函数以及信息论、排队论等现代数学各个领域。典型的应用如数据库原理中的关系代数、粗糙集理论、模糊集理论。
函数的定义、性质、复合与反函数等内容构成了集合论中函数理论的核心部分。集合论的公理系统为了形式化地描述集合论中的概念和运算，数学家们建立了一系列的公理系统。其中最为著名的是策梅洛-弗兰克尔（ZF）公理系统，它包含了一系列关于集合存在性和性质的公理，如空集公理、并集公理、幂集公理等。这些公理构成了...