因此，拥有一个解微分方程的工具包非常重要，你将在整个物理学习过程中遇到许多这样的方程。我们将使用一个最简单但也可以说是经典力学中最重要的微分方程来掌握求解微分方程的方法，即简谐振子方程（simple harmonic oscillator）——就是一个物体连接到弹簧的F=ma方程。我们首先将看到一些相对基本的方法来解这样的方程...
9.线性微分方程(以二阶为例) y''+A(x)y'+B(x)y=C(x) 齐次: y''+A(x)y'+B(x)y=0 非齐次: y''+A(x)y'+B(x)y=C(x) , C(x)\ne0 如果y_1(x) 和y_2(x) 是齐次方程的两个线性无关的特解. 则 y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x) 是齐次方程的通解. 如果y^*(x) 是非...
变量分离法适用于形如dy/dx=f(x)g(y)的微分方程,如果可以通过变量替换将其化为g(y)dy=f(x)dx的形式,那么就可以采用变量分离法来求解。具体的步骤是先进行变量替换,然后将方程化为分离变量的形式,最后进行积分得到通解。 六、其他方法。 除了上述介绍的常见方法外,还有一些其他的方法可以用来解微分方程,如欧拉...
一阶线性常微分方程法适用于形如dy/dx+p(x)y=q(x)的微分方程。通过先求齐次线性方程的通解,然后再利用待定系数法找到特解,最后求得原方程的通解。 6.二阶常系数齐次线性微分方程法 二阶常系数齐次线性微分方程法适用于形如d²y/dx²+a1dy/dx+a0y=0的微分方程。通过设y=e^(mx),将微分方程转化为特...
微分方程特解求法: 1.可分离变量的微分方程解法; 2.齐次方程解法一般形式; 3.一阶线性微分方程解法一般形式; 4.可降阶的高阶微分方程解法; 5.二阶常系数齐次线性微分方程解法一般形式; 6.二阶常系数非齐次线性微分方程解法一般形式。 1.可分离变量的微分方程解法一般形式 g ( y ) dy = f ( x ) dx ...
1 可分离变量的微分方程 2 齐次微分方程 化为可分离变量的微分方程进行求解 3 一阶线性微分方程 先用分离变量法求出其对应齐次方程的通解,再用常数变异法求解原微分方程。 Tip:一阶非齐次线性微分方程的通解,由它的一个特解和对应齐次方程的通解构成。 4 伯努利方程 5 全微分...
各类微分方程的解法 1.可分离变量的微分方程解法 一般形式:g(y)dy=f(x)dx 直接解得∫g(y)dy=∫f(x)dx 设g(y)及f(x)的原函数依次为G(y)及F(x),则G(y)=F(x)+C为微分方程的隐式通解 2.齐次方程解法 一般形式:dy/dx=φ(y/x) 令u=y/x则y=xu,dy/dx=u+xdu/dx,所以u+xdu/dx=φ(u...
在实际应用中,可以解出 近似值 即可——数值求解 2.1 数值求解: 概念:利用给定常微分方程及边界条件,求解函数 y(x ) 在若干 离散点 的近似值(再拟合成折现或曲线)的方法 即:在区间 [a,b] 上有若干离散点: a=x_0<x_1<...<x_n=b ,求出函数 y(x ) 在离散点 x_k 处的近似值 y_k ,作为精确...
分离变量法是解常微分方程的一种常见方法,适用于一阶微分方程。其基本思想是将微分方程中的变量分离开来,然后对两边分别积分得到解。例如,对于形如dy/dx = f(x)g(y)的微分方程,可以将其化为dy/g(y) = f(x)dx,然后对两边积分得到解。 2.积分因子法。 积分因子法适用于一阶线性微分方程,通过求解积分因子...
微分方程的通解方法微分方程的解通常是一个函数表达式y=f(x),(含一个或多个待定常数,由初始条件确定)。例如:dy/dx=sin x,其解为: y=-cos x+C,其中C是待定常数;如果知道y=f(π)=2,则可推出C=1,而可知 y=-\cos x+1。一阶线性常微分方程对于一阶线性常微分方程,常用