群的直积 定义 G1,G2 是群,单位元分别为 e1,e2,定义群 G1,G2 的(外)直积 G1×G2={(a1,a2)|ai∈Gi,i=1,2} 定理 G1×G2 上的代数运算是(a1,a2)(b1,b2)=(a1b1,a2b2) 其中(a1,a2),(b1,b2)∈G1×G2,在这个代数运算下 G1×G2 构成群. 证明 1. 封闭性 显然(a1,a2)(b1,b2...
从已知的一些群出发可以构造出新的群,其中最简单的途径就是直和与直积的构造。 定义1:设 G_1,G_2 是群,在笛卡尔积 G_1\times G_2 上定义运算为按分量进行,即对于 (a_1,b_1),(a_2,b_2)\in G_1\times G_2 ,定义…
反之,假设 ,则 ,所以 是 的生成元,因此 是循环群。 定义2设H和K是群G的正规子群,如果群G满足条件 且 ,则称G是H和K的内直积(internal direct product)。 定理4设H和K是G的子群,则G是H和K的内直积的充分必要条件是G满足以下两个条件: (1)G中每个元可惟一地表为hk的形式,其中 ; (2)H中任意元与...
我们定义群GG是其子群H,KH,K的内直积(记为G=H⊗KG=H⊗K),当且仅当:① G=HKG=HK;② H,K⊴GH,K⊴G;③ H∩K={e}H∩K={e}。可见,内直积H⊗KH⊗K是比集合的乘积HKHK满足更丰富性质的一种群与群的运算。 Rmk. 给定两个群,它们可以向外得到外直积群;给定一个群,它可以向内找到两...
2.4群的直积是近世代数-四川师范大学的第10集视频,该合集共计20集,视频收藏或关注UP主,及时了解更多相关视频内容。
群的直积 外直积 是两个群(固定的群), 且有 ,(构造的新群) 定义运算: 并且有: 内直积 与外直积相反, 是一个群, 如果 且 , , 则称 . 证明: , 其中 ; 上面的表示方法唯一. 若不然, , 两边左乘 ,右乘 , 得到 于是 . 直积的意义: ...
群的直积和半直积是群论中的两种构造,它们在拓扑和几何中有着丰富的应用。要理解这些概念,首先需要掌握群论的基础知识,然后再探讨它们在拓扑和几何中的应用。 群的直积 (Direct Product) 定义:如果有两个群 G 和 H,它们的直积 G×H 是所有元素对 (g,h) 的集合,其中 g∈G和 h∈H。群运算是对应元素的群...
群的直积 群的直积是由已知群出发构造新的群的常用方法 外直积 设 为群,积集合 在G中按分量相乘的形式引入G的一个乘法: 易证G关于上述乘法构成一个群 令 分别为 的单位元 令 , ,其中 故e为G的单位元 类似可证 , 的逆元为 ,其中 为 在
在抽象代数中,群的直积和直和是两个重要的概念。直积是通过在n个群的笛卡尔积上定义运算来构造的新群,可以看作是由已知群生成的新群。同时,一个群的子群也可以生成新的群。接下来,我们讨论这个新群的性质,以及它与子集族的关系。为了简化群的研究,我们可以将一个群表示成其正规子群的乘积,即直和。这就像在...
2.4群的直积 §2.4群的直积(2.4DirectProductofGroup)2.4.1群的外直积(ExternalDirectProductofGroup)定义:设G1，G2是两个群，G1×G2={(a，b)|a∈G1，b∈G2}，在G1×G2中定义二元运算为乘法:(a1，b1)(a2，b2)=(a1a2，b1b2)，则G1×G2关于这种乘法构成群，称G1×G2是G1和G2 的外...