从已知的一些群出发可以构造出新的群,其中最简单的途径就是直和与直积的构造。 定义1:设 G_1,G_2 是群,在笛卡尔积 G_1\times G_2 上定义运算为按分量进行,即对于 (a_1,b_1),(a_2,b_2)\in G_1\times G_2 ,定义 \\(a_1,b_1)(a_2,b_2)=(a_1a_2,b_1b_2) 则G_1\times G...
群的直积 定义 G1,G2 是群,单位元分别为 e1,e2,定义群 G1,G2 的(外)直积 G1×G2={(a1,a2)|ai∈Gi,i=1,2} 定理 G1×G2 上的代数运算是(a1,a2)(b1,b2)=(a1b1,a2b2) 其中(a1,a2),(b1,b2)∈G1×G2,在这个代数运算下 G1×G2 构成群. 证明 1. 封闭性 显然(a1,a2)(b1,b2...
再进一步,如果 H 是正规子群:B≅ H,则此扩张为平凡扩张,G 就是 H 与 N 的内直积,记为 G = H⊗N (群的直积有内直积与外直积,视上下文而定,多指外直积)。因为 H 和 N 都是正规子群,所以还有 G = H⊗N = N⊗ H。 对于群 G 有自然同态 G→G/N,子群 H...
反之,假设 ,则 ,所以 是 的生成元,因此 是循环群。 定义2设H和K是群G的正规子群,如果群G满足条件 且 ,则称G是H和K的内直积(internal direct product)。 定理4设H和K是G的子群,则G是H和K的内直积的充分必要条件是G满足以下两个条件: (1)G中每个元可惟一地表为hk的形式,其中 ; (2)H中任意元与...
群的直积和半直积是群论中的两种构造,它们在拓扑和几何中有着丰富的应用。要理解这些概念,首先需要掌握群论的基础知识,然后再探讨它们在拓扑和几何中的应用。 群的直积 (Direct Product) 定义:如果有两个群 G 和 H,它们的直积 G×H 是所有元素对 (g,h) 的集合,其中 g∈G和 h∈H。群运算是对应元素的群...
我们定义群GG是其子群H,KH,K的内直积(记为G=H⊗KG=H⊗K),当且仅当:① G=HKG=HK;② H,K⊴GH,K⊴G;③ H∩K={e}H∩K={e}。可见,内直积H⊗KH⊗K是比集合的乘积HKHK满足更丰富性质的一种群与群的运算。 Rmk. 给定两个群,它们可以向外得到外直积群;给定一个群,它可以向内找到两...
在群论的世界里，从已知的群出发，我们可以通过直和与直积的方式构造出新的群，这是理解群结构的重要手段。首先，我们来看一下这两种构造方法的定义。定义一：直和 假设我们有一个群 \( G \)，在笛卡尔积 \( G \times G' \) 上定义一种新的运算，其规则是按分量相乘，即对于任意 \( (g,...
1.5群的直积同构同态 1.5群的直积、同构和同态群的直积、一、群的直积 定义：是群G的两个子群定义：设H1和H2是群的两个子群 H1H2SµGRjH1={R1,R2,...,Rh1}，R1=EH2={S1,S2,...,Sh2}，S1=EE若满足：若满足：除恒元R1）除恒元1=S1=E外，子群1和H2无公共元素外子群H2）分属两子群的元素...
2.4群的直积 §2.4群的直积(2.4DirectProductofGroup)2.4.1群的外直积(ExternalDirectProductofGroup)定义:设G1，G2是两个群，G1×G2={(a，b)|a∈G1，b∈G2}，在G1×G2中定义二元运算为乘法:(a1，b1)(a2，b2)=(a1a2，b1b2)，则G1×G2关于这种乘法构成群，称G1×G2是G1和G2的外直...
在抽象代数中,群的直积和直和是两个重要的概念。直积是通过在n个群的笛卡尔积上定义运算来构造的新群,可以看作是由已知群生成的新群。同时,一个群的子群也可以生成新的群。接下来,我们讨论这个新群的性质,以及它与子集族的关系。为了简化群的研究,我们可以将一个群表示成其正规子群的乘积,即直和。这就像在...