高斯绝妙定理(Theorema Egregium),拉丁文的remarkable theorem,来看下连高斯都觉得妙的定理到底是怎么回事。 定理的证明主要是通过计算得到的,可能读起来会挺枯燥的,但结论是非常深刻的。 为了书写简便先引进一些记号, (gij) 为第一基本型 I 的矩阵表示, (gij) 表示I 的逆矩阵;同样的 (hij) 为第二基本型 II...
这一数学发现如此绝妙,以至于它的发明人,也就是我们的数学天才高斯小哥哥,给它起了个拉丁文名叫Theorema Egregium,意思是“绝妙定理”。 绝妙定理有多妙? “绝妙定理”之所以敢这么叫,必然得有一个绝妙的结果:随意弯曲一个曲面,只要你不拉长、压缩或者撕裂...
高斯绝妙定理:曲面的 \text{Gauss} 曲率是曲面在等距变换下的不变量,且有如下公式 \displaystyle{K=\frac{1}{2D} \left\{ \frac{\partial}{\partial u}\left[ \frac{F}{ED}\frac{\partial E}{\partial v}-\frac{1}{D}\frac{\partial G}{\partial u} \right] +\frac{\partial}{\partial v}...
高斯绝妙定理(Theorema Egregium)揭示了曲面几何的本质特性,其核心结论是曲面的高斯曲率仅由曲面本身的度量性质决定,而非其嵌入三维空间的方式。这一发现开创了内蕴几何研究,对数学和物理学影响深远。 一、历史背景与核心思想 该定理由高斯在19世纪研究大地测量时提出,其突破性在于首次将曲率与...
高斯绝妙定理 从定义可以看到，高斯曲率是利用曲面的两个基本形式定义出来的，那么它的数学意义到底是什么呢？首先我们可以观察到，前面我们提到的可展曲面，无论它们的形状如何，高斯曲率都是0，而且可以证明反过来也是正确的。那么我们就得到了一个非平凡的结果：三维欧式空间中的(正则)曲面是可展曲面当且仅当它的...
.顺理成章地,δA 在 S 的等距变换下是不变的.根据漂亮定理 (13.1). 也是不变的.因此,立即得到以下绝妙定理: 实验.将香蕉的两端向里推,看看香蕉皮在点 p 处会发生什么变化:曲率半径 ρ1缩小了(因为这个主方向和香蕉的方向相同),横截...
设曲面 S 上围绕在点 p 周围的一片面积为,它在 S2上的像是围绕在点 n(p) 周围的一片球面,面积为.顺理成章地,δA 在 S 的等距变换下是不变的.根据漂亮定理 (13.1),也是不变的.因此,立即得到以下绝妙定理: 图13-2 用另一个香蕉皮说明了这个定理,我们再次强烈建议你自己试试这个实验.将香蕉的两端向...
Gauss绝妙定理说的是:高斯曲率是曲面的内蕴不变量,且在局部等距变换下保持不变。 下面我们就来证明一下绝妙定理。 Part.2 预备知识 为了简便,我们将采用Einstein求和约定:当求上下指标在一项内出现两次时,则表示对这一项求和。 对于正则曲面S:r=(u1,u2),(u1,u2)∈U∈R2,其第一基本形式和第二基本形式分别是:...
高斯绝妙定理的拉丁语是““显式定理”，是卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）证明的关于曲面曲率的微分几何的基础结果。定理说，如果一个曲面弯曲而没有拉伸，表面的高斯曲率就不会改变。换句话说，高斯曲率可以通过测量表面本身上的角度，距离和速率来完全确定，而无需进一步参考表面嵌入环境三维欧几里得空间...