高斯绝妙定理表明,曲面的内蕴曲率(即高斯曲率)在等距变换下保持不变。换句话说,无论曲面如何平移、旋转或进行其他不改变曲面上任意两点间距离的变换(等距变换),其高斯曲率都保持不变。 设曲面在P点处的两个主曲率为k1和k2,它们的乘积k=k1·k2称为曲面于该点的总曲率或高斯曲率。高斯绝妙定理即指出,这个高斯曲率...
高斯绝妙定理有两个不同含义:一是微分几何中的定理,关于曲面曲率,表明曲面的内蕴曲率在等距变换下保持不变,标志着现代微分几何的诞生;二是静电学中的定理,表明闭合曲面内的电荷之和与产生的电场在该闭合曲面上的电通量积分之间的关系。 高斯绝妙定理的全面解析 高斯绝妙定理的定义与背景 高斯...
高斯绝妙定理(Theorema Egregium),拉丁文的remarkable theorem,来看下连高斯都觉得妙的定理到底是怎么回事。 定理的证明主要是通过计算得到的,可能读起来会挺枯燥的,但结论是非常深刻的。 为了书写简便先引进一些记号, (gij) 为第一基本型 I 的矩阵表示, (gij) 表示I 的逆矩阵;同样的 (hij) 为第二基本型 II...
高斯绝妙定理公式高斯绝妙定理公式为:∬S (div F) dS = ∮∂S (F · n) ds,其中div F表示向量场F的散度,∂S表示曲面S的边界,ds表示曲线∂S上的弧长,·表示向量的点积,S为一个光滑的闭合曲面,n表示S上的单位外法向量场,F为一个连续可微的向量场。高斯绝妙定理的应用范围极为广泛,在电磁学中...
高斯绝妙定理:曲面的 \text{Gauss} 曲率是曲面在等距变换下的不变量,且有如下公式 \displaystyle{K=\frac{1}{2D} \left\{ \frac{\partial}{\partial u}\left[ \frac{F}{ED}\frac{\partial E}{\partial v}-\frac{1}{D}\frac{\partial G}{\partial u} \right] +\frac{\partial}{\partial v}...
高斯的答案更加绝妙: 根据这个结果,我们能够忽略曲率这两种定义方式的差异,可以直接称其为曲面的曲率 K,以下就这样做了. 至于漂亮定理,这个精彩结果最简单、最一般的证明还要等到第四幕引入平行移动之后再介绍.然而,在下一章中,我们将能够通过一个涉及多面体的有限论证...
高斯的答案更加绝妙: 根据这个结果,我们能够忽略曲率这两种定义方式的差异,可以直接称其为曲面的曲率 K,以下就这样做了. 至于漂亮定理,这个精彩结果最简单、最一般的证明还要等到第四幕引入平行移动之后再介绍.然而,在下一章中,我们将能够通过一个涉及多面体的有限论证来使这个结果更具可信性. ...
高斯绝妙定理 从定义可以看到，高斯曲率是利用曲面的两个基本形式定义出来的，那么它的数学意义到底是什么呢？首先我们可以观察到，前面我们提到的可展曲面，无论它们的形状如何，高斯曲率都是0，而且可以证明反过来也是正确的。那么我们就得到了一个非平凡的结果：三维欧式空间中的(正则)曲面是可展曲面当且仅当它的...
高斯绝妙定理 (Theorema Egregium) 的直接验证 D Woo 高斯定律的纯数学推导 已知:点电荷场强公式: \vec{E}=k\frac{q}{r^{3}}\vec{r} 推导:高斯定律: abla\cdot{\vec{E}}=4{\pi}k\rho=\frac{\rho}{\varepsilon} 准备:Gauss公式: \int_{\partial{\Omega}}{\vec{F… 求知似渴 关于高斯定理...