但是,为了正确地理解这个绝妙定理本身,我们将首先讨论它的起源.东布罗夫斯基(Dombrowski, 1979)在这方面做了精彩和深刻的工作,他通过查阅高斯的私人笔记本、给朋友的信和正式出版物,小心地拼凑了一个年表,反映了高斯对微分几何一般见解的发展,特别是对这个定理见解的发展...
这一数学发现如此绝妙,以至于它的发明人,也就是我们的数学天才高斯小哥哥,给它起了个拉丁文名叫Theorema Egregium,意思是“绝妙定理”。 绝妙定理有多妙? “绝妙定理”之所以敢这么叫,必然得有一个绝妙的结果:随意弯曲一个曲面,只要你不拉长、压缩或者撕裂...
高斯绝妙定理(Theorema Egregium),拉丁文的remarkable theorem,来看下连高斯都觉得妙的定理到底是怎么回事。 定理的证明主要是通过计算得到的,可能读起来会挺枯燥的,但结论是非常深刻的。 为了书写简便先引进一些记号, (gij) 为第一基本型 I 的矩阵表示, (gij) 表示I 的逆矩阵;同样的 (hij) 为第二基本型 II...
实际上，从前面的讨论(尤其是高斯绝妙定理)可知，高斯曲率衡量的是曲面的度量(也就是第一基本形式)，偏离标准度量(高斯曲率为0的度量，也就是Ⅰ=du²+dv²)的程度。例如我们简单地考虑在平面一点相切的球面，而半径为R的球面高斯曲率为1/R²,可以直观地看到，高斯曲率越大(半径越小)，与平面的偏离程度越...
高斯绝妙定理:曲面的 \text{Gauss} 曲率是曲面在等距变换下的不变量,且有如下公式 \displaystyle{K=\frac{1}{2D} \left\{ \frac{\partial}{\partial u}\left[ \frac{F}{ED}\frac{\partial E}{\partial v}-\frac{1}{D}\frac{\partial G}{\partial u} \right] +\frac{\partial}{\partial v}...
设曲面 S 上围绕在点 p 周围的一片面积为 δA,它在上的像是围绕在点 n(p) 周围的一片球面,面积为.顺理成章地,δA 在 S 的等距变换下是不变的.根据漂亮定理 (13.1).也是不变的.因此,立即得到以下绝妙定理: 实验.将香蕉的两端向里推,看看香蕉皮在点 p 处会发生什么变化:曲率半径 ρ1缩小了(因为...
实际上,从前面的讨论(尤其是高斯绝妙定理)可知,高斯曲率衡量的是曲面的度量(也就是第一基本形式),偏离标准度量(高斯曲率为0的度量,也就是Ⅰ=du²+dv²)的程度。例如我们简单地考虑在平面一点相切的球面,而半径为R的球面高斯曲率为1/R²,可以直观地看到,高斯曲率越大(半径越小),与平面的偏离程度越大。(...
高斯绝妙定理表明，曲面的曲率在等距变换下是不变的。该定理强调了曲面内在性质与外在表现之间的统一。关键术语：定向正则曲面：具有确定方向的平滑曲面。参数化表示：通过参数方程来描述曲面的方式。自然标架：曲面上某点的切向量构成的标架，用于描述曲面的局部结构。第一基本形式：描述曲面上两点间距离的...
1827 年,高斯宣布了 Theorema Egregium(拉丁语,意为“绝妙定理”).虽然这一年见证了贝多芬的去世,但是这个定理的出现意味着这一年也见证了现代微分几何的诞生. 作者| 特里斯坦·尼达姆[美](Tristan Needham) 来源| 《可视化微分几何和形式:一部五幕数学正剧》 ...
高斯绝妙定理(Theorema Egregium)揭示了曲面几何的本质特性,其核心结论是曲面的高斯曲率仅由曲面本身的度量性质决定,而非其嵌入三维空间的方式。这一发现开创了内蕴几何研究,对数学和物理学影响深远。 一、历史背景与核心思想 该定理由高斯在19世纪研究大地测量时提出,其突破性在于首次将曲率与...