二、矩阵的秩定义:一个矩阵中所有出现的行和列向量中线性无关的向量个数被称为矩阵的秩。 三、矩阵的秩的计算:多项式矩阵的秩可以通过行列变换来计算。行列变换不改变矩阵的秩,也就是说,如果将一个矩阵经过一系列的行列变换后,得到的矩阵行/列向量线性无关的数量不变,那么这个数量就是矩阵的秩。常用的行列变换...
如何求矩阵多项式的秩?有个很有用的公式：若(f(x),g(x))=1 线性变换版本：A∈EndV,dimV=n则Kerf(A)g(A)=Kerf(A)⊕Kerg(A)2. 矩阵版本：A∈Fn×n, 那么根据dimKerA=n−dimImA=n−r(A)可得rank(f(A))+rank(g(A))=n+rank(f(A)g(A))感谢 @建平指出错漏的地方。特别地若f...
矩阵多项式秩是研究矩阵的几何结构的一个重要的参数。它的值有助于表示矩阵的结构,并且用于分析矩阵特征。矩阵多项式秩是研究矩阵结构的重要概念,下面给出一些恒等式,并对这些恒等式及其应用进行介绍。 首先,如果一个 $n\times n$ 矩阵A的rank(A)等于n,则它具有一个恒等式: rank(A$^{-1}$)=$n$ 。另外,...
因此,若多项式矩阵的行列式是一个非零常数,则该矩阵可逆;反之,若行列式为非常数多项式或零多项式,则矩阵不可逆。 二、满秩性的定义与意义 满秩矩阵指其秩等于矩阵的阶数。对于多项式矩阵而言,满秩意味着其行列式不为零多项式。但需注意,行列式“不为零”在多项式环中...
毕竟有时候多项式矩阵符合满秩的话，该多项式不一定是方阵，而只有方阵才可能可逆呢 对于这一类型的题，...
矩阵多项式秩的几个恒等式及其应用
利用矩阵的特征多项式求秩是一种有效的方法,尤其是在处理大型矩阵时。下面,我将详细解释如何利用矩阵的特征多项式来求秩。 首先,我们需要了解什么是矩阵的特征多项式。对于一个n阶方阵A,其特征多项式f(λ)是一个关于λ的n次多项式,其根(即f(λ)=0的解)称为矩阵A的特征值。特征多项式f(λ)的表达式为|A-λE...
(1)存在多项式h(x)使得f(x)=d(x)h(x)所以f(A)=d(A)h(A) => rank(f(A))<=rank(d(A))另一方面存在多项式u(x), v(x)使得u(x)f(x)+v(x)g(x)=d(x)所以d(A)=u(A)f(A) => rank(d(A))<=rank(f(A))(2)如果f和g互质，f的根都不是A的特征值，得到f(A)可逆...