矩阵范数是衡量矩阵“大小”或“强度”的重要数学工具,广泛应用于数值分析、机器学习和图像处理等领域。其核心定义基于非负性、齐次性、三角不等式
二. 矩阵范数与向量范数的相容性 定理3:设‖⋅‖m 是Cn×n 上的矩阵范数,‖⋅‖v 是Cn 上的向量范数,如果对任意 A∈Cn×n 和x∈Cn 都有‖Ax‖v≤‖A‖m‖x‖v则称矩阵范数 ‖⋅‖m 与向量范数 ‖⋅‖v 是相容的。定理4:设‖⋅‖m 是Cn×n 上的矩阵范数,则在 Cn 上比存在与它相同...
一个满足第一个附加特性的矩阵范数被称为服从乘法范数(sub-multiplicative norm)。附上矩阵范数并包含所有n×n矩阵的集合,是巴拿赫代数的一个例子。 (在一些书上,术语“矩阵范数”只指服从乘法范数。) 诱导范数 Km及Kn上向量范数已知(K是实数或复数域),可在 矩阵空间上按照下述原则定义相应的“诱导范数”或算子范...
矩阵范数是一种特殊的向量范数,因此也具有范数的等价性:有限维向量空间上各范数是等价的,一个范数可以用另一个范数的常数倍控制。下表的上的值就给出了满足等价性不等式其中,横行代表,纵列代表常数是最优选取的,即选择了满足上例的最小正常数,此外据此不难计算出另外一个控制常数 ...
必要性\Rightarrow:(a_{ij}(k)-a_{ij})=\alpha_i^T(A(k)-A)\beta_j\\其中\left[ \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m \right]=I_m, \left[ \beta_1, \beta_2,...,\beta_m \right]=I_n\\ 等式两边同时取范数,并利用向量范数和矩阵范数的性质做放缩 \|(a_{ij}(k)-a_{ij})\|...
1.矩阵的1-范数：矩阵的1-范数是指矩阵列绝对值之和的最大值，即以列为单位，计算每一列绝对值之和，然后找出最大的一个值。计算公式如下：A，1 = max{∑，a[i][j]，}, 1≤i≤n 2.矩阵的∞-范数：矩阵的∞-范数是指矩阵行绝对值之和的最大值，即以行为单位，计算每一行绝对值之和，然后找出最...
本文将从不同的角度探讨这些矩阵范数的定义、特性以及其在实际问题中的应用。 一、谱范数 谱范数是矩阵的最大奇异值,用于衡量矩阵的最大特征值。谱范数的定义为矩阵A的最大奇异值,即∥A∥2=max│λi│,其中λi表示矩阵A的第i个特征值。 谱范数具有以下性质: 1. 非负性:对于任意矩阵A,有∥A∥2≥0。 2...
一、矩阵的范数类型 1. 一范数 2. 二范数 3. 无穷范数 4. 行和范数 5. 列和范数 二、解释及介绍 一范数：也被称为列绝对值的和，即矩阵所有列上的元素绝对值之和的最大值。它在机器学习中的特征选择中有广泛应用。在数值分析中，一范数的计算对于某些问题的稳定性和收敛性非常重要。其几何...
向量(矩阵)范数是向量(矩阵)的数字特征,在某种意义上范数相当于实数的绝对值,复数或者向量的模长,它在研究序列、级数、极限时起到十分基础性的作用。 2.1.1向量范数 在我们高中的数学学习中,我们已经接触过向量的模长。即对于n维欧氏空间中的一个向量x,其模长为|x|=(x12+x22+⋯xn2)12。我们知道,模长是对...