一个满足第一个附加特性的矩阵范数被称为服从乘法范数(sub-multiplicative norm)。附上矩阵范数并包含所有n×n矩阵的集合,是巴拿赫代数的一个例子。 (在一些书上,术语“矩阵范数”只指服从乘法范数。) 诱导范数 Km及Kn上向量范数已知(K是实数或复数域),可在 矩阵空间上按照下述原则定义相应的“诱导范数”或算子范...
必要性\Rightarrow:(a_{ij}(k)-a_{ij})=\alpha_i^T(A(k)-A)\beta_j\\其中\left[ \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m \right]=I_m, \left[ \beta_1, \beta_2,...,\beta_m \right]=I_n\\ 等式两边同时取范数,并利用向量范数和矩阵范数的性质做放缩 \|(a_{ij}(k)-a_{ij})\|...
二. 矩阵范数与向量范数的相容性 定理3:设‖⋅‖m 是Cn×n 上的矩阵范数,‖⋅‖v 是Cn 上的向量范数,如果对任意 A∈Cn×n 和x∈Cn 都有‖Ax‖v≤‖A‖m‖x‖v则称矩阵范数 ‖⋅‖m 与向量范数 ‖⋅‖v 是相容的。定理4:设‖⋅‖m 是Cn×n 上的矩阵范数,则在 Cn 上比存在与它相同...
矩阵范数的定义 矩阵范数是一种将矩阵映射到实数的函数,它可以用来衡量矩阵的大小。矩阵范数有多种定义方式,其中比较常见的有以下几种: 1. Frobenius范数 Frobenius范数是矩阵中所有元素的平方和的平方根,即: $$\left\|A\right\|_F=\sqrt{\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n|a_{ij}|^2}$$ 其中,$A$是一...
1范数的应用领域较广,主要用于衡量矩阵的稀疏性或在信号处理中,对信号进行压缩或降噪时常会使用到该范数。 2.2 2 范数 2范数也称为谱范数,表示矩阵的特征值的最大值的平方根,即||A||2 = max{||Ax||2/||x||2},其中Ax表示矩阵A乘以向量x,而||x||2表示向量x的范数。 2范数在线性代数和数值分析中经...
常见的向量范数有: (2)L2范数:||x||2=√(∑xi^2)。 矩阵范数类似于向量范数,也是将一个矩阵映射到其大小的非负实数函数。矩阵范数也必须满足向量范数的四个性质(非负性、同一性、绝对值、三角不等式),同时还需要满足以下性质: (5) 齐次性:对于所有矩阵A和实数t,有||tA||=|t|||A||。 (2)谱范数...
本文将从不同的角度探讨这些矩阵范数的定义、特性以及其在实际问题中的应用。 一、谱范数 谱范数是矩阵的最大奇异值,用于衡量矩阵的最大特征值。谱范数的定义为矩阵A的最大奇异值,即∥A∥2=max│λi│,其中λi表示矩阵A的第i个特征值。 谱范数具有以下性质: 1. 非负性:对于任意矩阵A,有∥A∥2≥0。 2...
clear;clc a=[139;28-3;201];[x y]=eig(a'*a);% y矩阵的对角元素是特征值% 最大特征值开根号:% 手动实现f2_sdf2_sd=sqrt(max(diag(y)))% 自带函数f2_sd, 默认也是2范数f2_zd=norm(a,2) 结果:一致 f2_sd=9.6142f2_zd=9.6142
矩阵的无穷范数:行绝对值之和最大 还有一种是把矩阵拉伸成向量,然后再对向量求范数。在论文里面大家用的模棱两可的,具体文章还要具体来看。 此处引用知乎上大佬的解答 大佬: 矩阵有两种范数的定义,一种是矩阵范数,用来衡量矩阵作为变换时对向量拉扯、形变的能力,p-norm 定义为 ||A||p = max||Ax||_p/||x...