哈达玛不等式:对于下凸函数f,若x₁ 上述方法表明,琴生不等式的核心在于利用凸函数的局部性质(如切线或二阶导数)与积分操作的可交换性,其证明思路可推广至概率测度及更一般的凸分析场景。
=x(2^nk)=(x1+x2+⋯+xn)/n 代入阶的琴生不等式 结论,整理后就可以得到结论。 如今看看如何使用 琴生不等式证明平方平均不等式 (x1∼2+x2∼2+⋯+ n^2)/n=[(x1+x2+.+n)/n]^2显然,我们可 以查看函数由于 f(x1)+f(x2))/2=(x1∼2+x2∼2)/ 2=(2x1^2+2x2^2)/42(x1^...
琴生不等式由丹麦数学家约翰·琴生(Johan Jensen)于1906年证明。[1]该不等式描述了凸函数中的不等式关系,有着广泛的应用。 上凸函数与下凸函数 定义 设函数 在区间 上有定义,如果对 及 , 都有 , 则称函数 在区间 上上凸.[1] 设函数 在区间 ...
2.证明琴生(Jensen)不等式:若f f((x+y)/2)≤(f(x)+f(y))/2 ,则当且仅当 x_1=x_2=⋯=x n时等号成立.
对于高中生而言,可以通过以下几种方法来证明琴生不等式: ### 方法一:几何意义代数化 1. **理解几何意义**: * 对于二阶导数大于零的函数(即下凸函数),任意两点函数值的平均值总是大于这两点中点处的函数值。 2. **构造中间函数**: * 设$f(x)$为区间$[a, b]$上的下凸函数,取$x_1, x_2 \in...
琴生不等式(Jensen's Inequality),也被称为詹森不等式,是数学中的一个重要不等式,它描述了凸函数在积分运算中的性质。以下是琴生不等式的证明过程,这里以凸函数为例进行说明: ### 一、琴生不等式的基本形式 若f(x)是区间[a,b]上的凸函数,则对任意的x1, x2, ..., xn∈[a,b],有不等式: ∑(i=...
证明见解析.琴生不等式 若f(x)是区间[a,b]上的凸函数,则对任意的点{{x}_{1}},{{x}_{2}},\cdots ,{{x}_{n}}\in \left[ a,b \right],有f\left( \dfrac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}\cdots +{{x}_{n}}}{n} \right)\leqslant \dfrac{f({{x}_{1}})+f({{x}_{2}})\c...
方法一：利用均值不等式证明琴生不等式 首先，我们需要了解均值不等式的概念：对于任意实数序列{a1, a2, ..., an},有 ∫[f(x)]n dx≥f(a1) + f(a2) + ... + f(an) - n(n-1)a1a2...an(g(a1) + g(a2) + ... + g(an))其中，f(x)和g(x)是任意两个函数，a1, a2, ..., an...