泰勒展开的核心思想是用多项式逼近复杂函数,通过匹配函数在某点的各阶导数确定系数,并引入余项表示近似误差。其推导过程从假设多项式形式开始,逐
)为过展开点的一条横着的直线: 零次展开的多项式与光滑函数的差值为余项 : 2.2 一次展开 泰勒公式的一次展开为 此时,多项式函数( )为一条斜着的直线: 相应的,一次展开的多项式与光滑函数的差值为余项 : 可以看到差值在缩小,也就是 2.3 二次展开 同样的道理,泰勒公式二次展开时,多项式为二次函数: 该多项式函数...
泰勒展开推导过程 对于一些较复杂的函数,为了便于研究,往往希望用一些简单的函数来近似表达.由于用多项式表示的函数,只要对自变量进行有限次加、减、乘三种算术运算,便能求出它的函数值来,因此我们经常用多项式来近似表达函数 在微分的应用中已经知道,当lxl很小时,有如下的近似等式:...
例如,e^x 的泰勒展开式是: e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...这个展开式是通过无穷级数定义得到的,其中每一项都是x的幂乘以对应的阶乘。🔢接下来是正弦函数sinx的展开式: sinx = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...这个展开式是基于三角函数的性质和复数函数的推导得到的...
推导过程中有个隐藏条件：函数必须在展开点处存在各阶导数。比如绝对值函数在x=0处不可导，这里就不能进行泰勒展开。再比如函数展开后的收敛半径问题，像1/(1-x)在x=0处展开的泰勒级数只在|x|<1时收敛，超过这个范围级数发散，但原函数本身在x=1处才出现奇点，这说明泰勒级数的收敛性比函数本身特性更敏感。
泰勒展开公式的推导 一、幂级数的定义 幂级数是一种无穷级数，它的通项形式为：f(x) = a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3 + ...，其中a0、a1、a2、a3等是常数。二、泰勒展开公式的推导过程 1、首先，选取一个点a，并设f(x)在点a的导数为f'(a)。根据导数的定义，f'(a) = lim(h->0...
其中，表示f（x）的n阶导数，等号后的多项式称为函数f（x）在x0处的泰勒展开式，剩余的Rn（x）是泰勒公式的余项，是（x-x0）n的高阶无穷小。[1]泰勒公式 余项 泰勒公式的余项Rn（x）可以写成以下几种不同的形式：1、佩亚诺（Peano）余项：这里只需要n阶导数存在。2、施勒米尔希-罗什（Schlom...
泰勒展开公式推导作者: zrzzrz , 2024-07-17 17:09:09 , 所有人可见 , 阅读 15 4 设已知函数 f(x)f(x),需要将其表示为 g(x)=∑i=0∞aixig(x)=∑i=0∞aixi 先只考虑在 x=0x=0 处展开的情况,因为其他情况可将函数平移转化得到。 那么依次考虑 aiai 的求法。 我们规定 f(n)(x)f(n)(...
再根据假设来推导出各个系数的值。 下面来讲述细节。 3 对余项的观察 为了叙述方便,我们表示余项: 下面来观察随着泰勒公式的展开,余项会发生什么变化。 3.1 零次展开 泰勒公式的零次展开为 其中,多项式部分()为过展开点的一条横着的直线: 零次展开的多项式与光滑函数的差值为余项: ...
不断重复上面的思路，不断拆分余项，拆分N次后可以假设余项为o((\Delta x)^n),这样泰勒展开式为\...