正交矩阵的特征值只能是1或-1 相关知识点: 试题来源: 解析 证:设A是正交矩阵,λ是A的特征值,α是A的属于λ的特征向量 则A^TA = E (E单位矩阵),Aα=λα,α≠0 考虑向量λα与λα的内积. 一方面,(λα,λα)=λ^2(α,α). 另一方面, (λα,λα) = (Aα,Aα) = (Aα)^T(Aα) ...
【解析】 证:设A是正交矩阵,λ是A的特征值,α是A的属 于λ的特征向量 则$$ A \cap T A = E $$ (E单位矩阵),$$ A \alpha = \lambda \alpha , \alpha \neq 0 $$ 考虑向量入α与入α的内积. 一方面,$$ ( \lambda \alpha , \lambda \alpha ) = \lambda ^ { \prime } 2 ( \alpha ...
正交矩阵的特征值的绝对值均为1,即实数情况下特征值只能是1或-1,复数情况下模为1。这一性质源于正交矩阵的几何意义和代数定义,具体分析如下
1. 正交矩阵的定义与性质回顾 - 首先,正交矩阵 Q 满足QTQ=QQT=I (其中 I 是单位矩阵)。 -设 λ 是正交矩阵 Q 的一个特征值, x 是对应的特征向量,那么有 Qx=λx。 2. 证明正交矩阵特征值的绝对值为 1 -对 Qx=λx 两边同时取范数(这里以 2− 范数为例),根据向量范数的性质, ‖Qx‖=‖...
正交矩阵的特征值具有非常特殊的性质,它们的特征值只能是-1或1。 正交矩阵的定义: 若一个方阵Q满足其逆矩阵等于其转置矩阵,即QTQ=QQT=IQ^TQ=QQ^T=IQTQ=QQT=I,其中QTQ^TQT表示矩阵Q的转置,I是单位矩阵,则称Q为正交矩阵。 这一性质意味着正交矩阵的列向量(或行向量)之间是正交的,即它们的内积为零,且每个...
证明 本题提醒读者,正交矩阵不见得特征值都是实数,如最简单的A= 0 1 -1 0 是反对称阵,且是实阵,特征值:为±i.矩阵A正交的充要条件为 $$ A A ^ { T } = I . $$ 根据特征值特征向量定义,$$ A \alpha = \lambda a $$,λ为特征值,α为相应的特征向量,两 边转置,有 $$ \alpha ^ { T...
以下是关于正交矩阵特征值与行列式的两个重要定理及其证明和相关性质：设A为n阶正交矩阵（即ATA=I或AAT=I），则A的任意特征值λ满足∣λ∣=1（即特征值在复平面上位于单位圆上）。1.设λ为A的特征值，对应的特征向量为x=0，则有：Ax=λx 2.对等式两边取共轭转置，得到：xTAT=λxT 3.由于A是正交矩阵，...
【解析】 证设A是正交矩阵A的任意特征值,X是对应的实特征向量,则 $$ A X = \lambda X , X ^ { T } A ^ { T } = \lambda X ^ { T } , $$ 于是$$ X ^ { 7 } A ^ { T } A X = \lambda ^ { 2 } X ^ { T } X $$. 而$$ A ^ { + } A = I $$,因此$$ ( 1...
由于正交矩阵具有这些特殊的性质,它们在特征值和特征向量的解析解法中具有重要的作用。 在特征值和特征向量的解析解法中,我们可以利用正交矩阵的特性来简化计算。对于一个对称矩阵A,如果存在一个正交矩阵Q,使得Q^TAQ是一个对角矩阵D,那么D的对角线上的元素就是A的特征值,而Q的列向量就是A的特征向量。
解析 设λ是正交矩阵A的特征值,x是A的属于特征值λ的特征向量即有Ax = λx,且 x≠0.两边取转置,得 x^TA^T = λx^T所以x^TA^TAX = λ^2x^Tx因为A是正交矩阵,所以 A^TA=E所以x^Tx = λ^2x^Tx由x≠0 知 x^Tx 是一个非零的数故λ^2=1所以λ=1或-1....