正交矩阵的特征值必为-1或1。 正交矩阵的定义与性质 正交矩阵是线性代数中的一个重要概念,指的是满足$Q^TQ=QQ^T=I$的矩阵,其中$Q^T$表示矩阵$Q$的转置,$I$是单位矩阵。这一性质意味着正交矩阵的列向量(或行向量)之间是正交的,即它们的内积为零,且每个向量的模都为1。正交矩...
1.正交矩阵的定义与性质回顾 - 首先,正交矩阵Q满足QTQ=QQT=I(其中I是单位矩阵)。 -设λ是正交矩阵Q的一个特征值,x是对应的特征向量,那么有Qx=λx。 2. 证明正交矩阵特征值的绝对值为1 -对Qx=λx两边同时取范数(这里以2−范数为例),根据向量范数的性质,‖Qx‖=‖λx‖。
1. 特征值的模长为1:对于任何正交矩阵 (A),其特征值 (lambda) 都有 (|lambda| = 1)。这是因为如果 (lambda) 是 (A) 的一个特征值,对应的一个特征向量 (v),则 (Av = lambda v)。将这个关系式两边同时与 (A^T) 相乘,得到 (A^TAv = A^T(lambda v)),即 (v^TAA^T = lambda v^TA^T)。
正交矩阵保持向量的长度不变,并且只进行旋转或反射变换。因此,当特征值为1时,对应的特征向量在经过正交变换后方向不变;当特征值为-1时,对应的特征向量在经过正交变换后方向相反。这两种情况都符合正交矩阵的性质。 综上所述,正交矩阵的特征值只能是1或-1,这是由正交矩阵的定义和性质决定的。同时,这一性质也反映...
幺正变换(矩阵)及正交矩阵不同特征值的特征向量(复特征值与复特征向量也包含在内)相互正交 阶幺正矩阵必有 个线性无关的特征向量,因此幺正矩阵一定能够被对角化(过渡矩阵可以是幺正矩阵) 正交矩阵可以准对角化为特征值 以及二维的旋转块(过渡矩阵可以是正交矩阵),且这些特征向量与二维子空间两两之间相互正交 ...
【解析】证:设A是正交矩阵,λ是A的特征值,a是A的属于λ的特征向量则 A∼TA=E (E单位矩阵), Aα=λ a, α≠0考虑向量λa与λa的内积一方面, (λα,λα)=λ∼2(α,α)另一方面,(λα,λα)=(Aα,Aα)=(Aα)∼T(Aα)=α^2 A∼TAα =α∼Tα=(α,α)所以有 λ∼2(α...
正交矩阵的特征值是±1,正交矩阵A满足A'=A^(-1)A'与A有相同的特征多项式，故特征值一样，设为λ1,λ2,λ3,那么易知A^(-1)的特征值是1/λ1,1/λ2,1/λ3,由于A'=A^(-1)，1/λ1=λ1,1/λ2=λ2,1/λ3=λ3,得出λ1=±1,λ2=±1,λ3=±1, (注意3个特征值不一定...
正交矩阵的特征值：设λ是正交矩阵A的特征值，x是A的属于特征值λ的特征向量。即有Ax=λx，且x≠0。两边取转置，得x^TA^T=λx^T，所以x^TA^TAx=λ＾2x^Tx。因为A是正交矩阵，所以A^TA=E。所以x^Tx=λ＾2x^Tx。由x≠0知x^Tx是一个非零的数，故λ＾2=1，所以λ＝1或－1。注意：...
证明本题提醒读者,正交矩阵不见得特征值都是实数,如最简单的A=[-0/1,1/0] 是反对称阵,且是实阵,特征值:为±i.矩阵A正交的充要条件为AA^T=L 根据特征值特征向量定义, Aα=λα ,λ为特征值,α为相应的特征向量,两边转置,有α^TA^T=λα^T 因 A^T=A^(-1) 则必有 A^(-1)α=1/λα但...