可以讲每个多面体视为一个点集,那多面体的运动就可以用一个欧式空间到自己的保距映射(刚体转动)表示(这里只考虑旋转操作,这是现实中可以做到的,比如旋转一个地球仪,而镜面对称则是现实中做不到的,这就是为什么我们考虑的是特殊正交群)。
平面旋转群SO(2)是我们站在初等数学的角度就可以形成直观理解的,不平凡的例子。它易于理解、易于计算、理论完备。本文作为MP系列最初的讲座之一,力求让大家熟悉这个例子,并且于简单中挖掘其中丰富的代数结构,…
旋转群描述了这种旋转运动的特性。 旋转群的基本性质是封闭性和结合律。也就是说,两个旋转操作的组合仍然是一个旋转操作,并且旋转操作之间的结合顺序不影响最终的结果。旋转群还具有单位元和逆元的概念,即旋转操作的单位元是不进行旋转,逆元是对一个旋转操作进行逆向旋转。 二、对称群 对称群是描述物体对称性的...
正六面体转动群是由正方体在三维空间所有保形旋转操作组成的群，含绕面对角线、体对角线及棱中轴等旋转，共 24 种操作。 面的置换 例：正6面体的6个面分别用红、蓝两种颜色着色，有多少方案?解：正六面体的面二着色问题，根据Polya定理，方案数为：顶点置换 例：用2种颜色给正6面体的8个顶点着色，有多少...
正四面体是一个具有四个等边三角形面的立体,它有一些旋转对称轴和反射面,这些对称性操作构成了正四面体的旋转群。 正四面体的旋转群是一个四元素群,记作T,其中包括以下几个操作: 保持不动:记作E,表示不进行任何旋转。 顺时针旋转120°:记作A,表示绕一个顶点逆时针旋转120°。 逆时针旋转120°:记作B,表示绕...
\hat{n}是旋转角,可以用方位角\theta,\varphi(0\leq\theta\leq \pi,0\leq\varphi<2\pi)刻画(参见球坐标系的变量)。转角\psi的取值为0\leq\psi\leq\pi。所以SO(3)又称三维旋转群。 \square这样定义的任意旋转C_{\hat{n}}(\psi)可以用以下旋转来描述: C_{\hat{n}}(\psi)=C_{\hat{k}}(\va...
在这篇文章中,我将为您介绍旋转群和对称群的基本概念和性质,并探讨它们在不同领域中的应用。 旋转群是描述空间中物体旋转的数学对象,它由所有旋转矩阵组成。旋转矩阵是一个正交矩阵,它表示物体绕着某个轴旋转一定角度的操作。旋转群的一个重要性质是封闭性,即两个旋转矩阵的乘积仍然是一个旋转矩阵。这意味着连续...
每一个这样类型的子群都是二维平面上旋转群SO(2)的同构。 与之前的方法类似,对于这样的子群,我们定义对应的生成元为 J_n( J_{\bold{\hat{n}}}的简洁表达) 。 子群中的所有元素均可以被生成元描述 \bold {R_n}(\psi)=e^{-i\psi J_n \tag{21}} 这就形成了SO(3)群的一个单参数子群。 一个直...
根据定义，环绕着原点的旋转是一个保持矢量长度，保持空间取向（遵守右手定则或左手定则）的线性变换。定义 在经典力学与几何学里，所有环绕着三维欧几里得空间的原点的旋转，组成的群，定义为旋转群。根据定义，环绕着原点的旋转是一个保持矢量长度，保持空间取向（遵守右手定则或左手定则）的线性变换。假若，一个线...