整环 百科释义 报错 个非平凡的环R称为一个整环,假如满足以下要求乘法适合交换律,ab=baR没有零因子,ab=Ota=0或b=0。这里6可以是R的任意元。换句话说,一个无零因子的非平凡交换环称为整环。整数环显然是一个整环。整环是抽象代数中最基本的概念之一。对任意的a,b属于环R,假如1、乘法适合交换律ab=ba;2...
最常见的整环实例是全体整数构成的环,其运算规则完全符合整环的定义。另一个重要例子是有理数系数多项式环,该结构中两个非零多项式相乘的结果永远不可能退化为零多项式。在几何领域,坐标环作为多项式环的商环,当其对应的代数簇不可约时,该坐标环也会形成整环结构,这种现象在代数几何与拓扑学的交叉研究中尤为突出。
整环中不存在零因子,即两个非零元素相乘不会为零。比如整数环就是一个常见的整环例子。整环中的乘法单位元存在且唯一。这使得在整环中进行乘法运算有明确的基准。整环的定义要求其加法运算满足结合律和交换律。从而保证了加法运算的稳定性和可预测性。若一个环满足整环的条件,它在数论和代数的研究中具有重要地位。
1-1. [整除]R为整环, 称a是b的因子,或者称b是a的倍数,如果存在0≠q∈R使得b=aq.称a和b是相伴的, 如果a,b互为因子. 称u∈R是单位, 如果它可逆. 1-2. [单位群]R的全体单位成一群, 称为单位群. 为什么要在整环中考虑因子分解? 考虑R=Z6,2=2⋅4, 相伴元之间可以相差非单位的乘积. ...
戴德金整环(Dedekind domain)是一维诺特整闭整环。整环R称为戴德金整环。若满足以下三个条件：1.R是诺特环.2.R在其商域中整闭.3.dim R=1(其中dim表示克鲁尔维数)，也即R不是域且非零素理想均为极大理想与可逆理想。在戴德金整环R中每个准素理想均为素理想的幂，从而每个非零理想均可惟一(不计因子次序)地...
前言:环论中整环的地位非常高,整数环是整环的最具代表性的具体的实例,我们可以试着通过整数环里的知识来理解和推广整环的性质,一元多项式环的内容在高等代数基本都有,不再赘述。 整除性、相伴、不可约元与素元 5-1-1.[定义]设R是整环,a,b∈R,如果存在c∈R,使得b=ac,则称a是b的因子,b是a的倍式,同时...
整环是指一类部分具有整数集合性质的环,若一个环为整环,则其为一无零因子且具有乘法单位元的交换环(即其乘法亦有交换律成立)。 整数集合、有理数集合对通常意义的加法和乘法运算所构成的环都是整环;另对某个质数p而言,模p的元素组成的完全剩余系对模p的加法和乘法所形成的环亦是整环。
在抽象代数中，欧几里得整环（Euclidean domain）是一种能作辗转相除法的整环。凡欧几里得整环必为主理想环。定义 一个欧几里得整环是一个整环R及，且存在函数 使之满足下述性质：（1）若 而 ，则存在q,r∈R，使得 a=qb+r，而且或者r=0，或者r≠0且φ(r)（2）若 而 ，则φ(a)≤φ(ab)。函数φ可设想...
而在整环中,这种情况是绝对不允许出现的。 举个例子,整数集合在通常的加法和乘法运算下就是一个整环。但如果考虑所有偶数构成的集合,它就不是整环了,因为2×2 = 4,而4不是奇数,不满足整环的定义。 三、关键点解析 3.1核心特征或要素 首先,乘法的结合律和交换律是整环的重要基础。就像搭建高楼大厦的基石,没有...