定义:整环是一个有单位元的交换环,且其中没有非零零因子。例子:整数环ℤ、多项式环ℝ[x]、ℚ、ℝ、ℂ等。 定义分析:整环需满足三个条件:(1) 是交换环;(2) 存在乘法单位元1且1≠0;(3) 无零因子,即若a,b≠0,则ab≠0。关键点在于结合交换性、单位元和零因子的排除。例子验证:- 整数环ℤ:...
整环 像\mathbb{Z},\mathbb{Q} 这样的环就是交换的无零因子环,这些环是重要的,我们引出了整环的定义: Definition 4 An integral domain (整环) is a nonzero commutative ring R (with 1) such that (\forall a,b\in R): \quad ab=0 \Rightarrow a=0 \space or \space b=0 \\ 简而言之,整环...
而在整环中,这种情况是绝对不允许出现的。 举个例子,整数集合在通常的加法和乘法运算下就是一个整环。但如果考虑所有偶数构成的集合,它就不是整环了,因为2×2 = 4,而4不是奇数,不满足整环的定义。 三、关键点解析 3.1核心特征或要素 首先,乘法的结合律和交换律是整环的重要基础。就像搭建高楼大厦的基石,没有...
欧几里得整环定义如下：核心元素：欧几里得整环定义涉及两个核心元素，一个是整环D，另一个是在整环D上定义的函数v。整除性质：在整环D中，对于任意两个非零元素a和b，如果a整除b，则存在另一个元素q，使得b可以表示为a与q的乘积加上剩余数r，即b = aq + r。关键性质在于，剩余数r的大小必定小于...
不变子群定义：a in G,Na=aN,N为G不变子群 整环定义：ab=ba，有单位元1:1a=a1=a，无零因子：ab=0=》a=0或b=0 理想定义：环R的一个非空子集R'：a,b in R'=>a-b in R' a,r in R'=>ra,ar in R'
5.2、唯一分解整环定义和性质是【哈尔滨工程大学】樊赵兵、马海涛《近世代数基础》的第35集视频,该合集共计41集,视频收藏或关注UP主,及时了解更多相关视频内容。
这一现象表明欧几里得整环是主理想整环中更特殊的一类。此外,某些二次整数环如Z[√−1](高斯整数环)和Z[√−2]是欧几里得整环,而Z[√−3]则不属于此类,因其无法实现满足条件的带余除法。 欧几里得函数的非唯一性是其重要特性之一。例如,在整数环中,若定义ν(n)=2|n|,这同样满足欧几里得函数的条件,...
域的情况证明平凡,但影响证明之一致性,为避免则假定总是整环而非域。 我们证明对非域的整环 D 下述定义等价: 诺特,整闭,素理想为极大的整环 诺特,对任一素理想之局部化为离散赋值环 非零理想皆可逆 非零真理想皆可分解为有限个极大理想之积 非零真理想皆可分解为有限个素理想之积 证明: 1⇒2: 此段证明...
进一步地，欧几里得整环中的函数v被用来量化元素的“大小”。当x为整数时，v(x)通常取为x的绝对值，即v(x): = | x |。这意味着v可以直观地衡量元素的大小，为整数的比较和排序提供了一种标准。总之，欧几里得整环定义揭示了整环D中元素的可除性与量化大小的能力。通过函数v，我们能够测量和比较...