定义:整环是一个有单位元的交换环,且其中没有非零零因子。例子:整数环ℤ、多项式环ℝ[x]、ℚ、ℝ、ℂ等。 定义分析:整环需满足三个条件:(1) 是交换环;(2) 存在乘法单位元1且1≠0;(3) 无零因子,即若a,b≠0,则ab≠0。关键点在于结合交换性、单位元和零因子的排除。例子验证:- 整数环ℤ:满
整环 像\mathbb{Z},\mathbb{Q} 这样的环就是交换的无零因子环,这些环是重要的,我们引出了整环的定义: Definition 4 An integral domain (整环) is a nonzero commutative ring R (with 1) such that (\forall a,b\in R): \quad ab=0 \Rightarrow a=0 \space or \space b=0 \\ 简而言之,整环...
举个例子,整数集合在通常的加法和乘法运算下就是一个整环。但如果考虑所有偶数构成的集合,它就不是整环了,因为2×2 = 4,而4不是奇数,不满足整环的定义。 三、关键点解析 3.1核心特征或要素 首先,乘法的结合律和交换律是整环的重要基础。就像搭建高楼大厦的基石,没有它们,整环的结构就会摇摇欲坠。 其次,单位元...
定义 一个整环叫做一个欧氏环,如果 (i)有一个从的非零元所作成的集合-{0}到全体非负整数作成的集合的映射存在; (ii)任意给定的一个非零元,的任何元都可以写成 的形式,这里有或 例 整数环是一个欧氏环.因为: 定理1 是一个适合条件(i)的映射并且任意给定整数,则任何整数都可写成 ...
这一现象表明欧几里得整环是主理想整环中更特殊的一类。此外,某些二次整数环如Z[√−1](高斯整数环)和Z[√−2]是欧几里得整环,而Z[√−3]则不属于此类,因其无法实现满足条件的带余除法。 欧几里得函数的非唯一性是其重要特性之一。例如,在整数环中,若定义ν(n)=2|n|,这同样满足欧几里得函数的条件,...
不变子群是一个重要的概念，在群论中起着关键作用。假设G是一个群，N是G的一个子群，如果对于G中的任意元素a，有aN=Na，则称N为G的一个不变子群。这意味着不变子群与群G中的元素的乘法操作保持不变。整环的概念主要应用于代数结构。一个整环是一个具有单位元1的环，其中1满足1a=a1=a，且该...
本次课程主要分享欧几里得整环的定义和相关例子., 视频播放量 7、弹幕量 0、点赞数 1、投硬币枚数 0、收藏人数 0、转发人数 0, 视频作者 清风明月在录课中, 作者简介 人生很漫长,且行且珍惜。,相关视频:诺特环的定义和相关例子,一个欧几里得整环的例子,一致凸空间的定
函数v的作用：函数v用于量化整环D中元素的大小。对于整环D中的任意元素x，v给出了x的“大小”。在常见的例子中，如整数环中，v通常取为x的绝对值。这个函数为整环D中的元素提供了一种比较和排序的标准。数学意义：欧几里得整环的定义揭示了整环D中元素的可除性与量化大小的能力。这一概念在数论、代...
我们证明对非域的整环 D 下述定义等价: 诺特,整闭,素理想为极大的整环 诺特,对任一素理想之局部化为离散赋值环 非零理想皆可逆 非零真理想皆可分解为有限个极大理想之积 非零真理想皆可分解为有限个素理想之积 证明: 1⇒2: 此段证明是展示局部化后保持性质的良好例子。有同构 Dp/pDp≅D/p 成立,由素...