如下图所示积分值对应标识出区域的面积。 1.2 数值微分的计算方法 单个积分的数值评估涉及估计函数 f(x) 在一个区间内从a到b的积分 I(f)。如果被积函数 f(x) 是解析函数,则数值积分是通过使用有限数量的点来计算被积函数,如上图所示。一种策略是仅使用区间的端点 (a,f(a)) 和 (b,f(b))。但是,这...
一、矩形法 矩形法是数值积分中最基础的方法之一。它通过将积分区间划分为若干个等宽的小区间,然后在每个小区间上选择一个点(如左端点、右端点或中点)的函数值作为该小区间的代表值,计算该点处的矩形面积,并将所有小区间的矩形面积相加,从而得到积分的近似值。根据选择代表点的不同,...
由于数值积分方法是近似方法,为保证精度,自然希望我们的求积公式能够对“尽可能多”的函数准确成立,这便提出了代数精度的概念。 如果某个求积公式对于次数不超过 m 的多项式均能够准确成立,但对于 m+1 次多项式就不准确成立,则称该求积公式具有\textbf{m} 次代数精度(或代数精确度)。 前面提到的梯形公式 (2) 和...
常用的数值积分法有矩形法、梯形法、辛普森法等。 矩形法是数值积分中最简单粗糙的近似计算方法。它将每个小区间上的函数值等分为一个常量,用矩形面积的和来近似计算定积分。具体来说,矩形法可分为左矩形法、右矩形法和中矩形法三种。其中,左矩形法以每个小区间的左端点作为代表点,右矩形法以右端点作为代表点,中...
在实际应用中,常用的数值积分方法有梯形法则、辛普森法则和复化求积法。下面将详细介绍这几种方法,并对它们进行比较汇总。 1.梯形法则是一种基本的数值积分方法。它的原理是将每个小区间视为一条梯形,并用该梯形的面积来近似表示该小区间的积分值。具体而言,对于求解区间[a,b]上的定积分,梯形法则的计算公式为: ...
辛普森法同样将区间划分为多个小区间，并在每个小区间内选取三个点：两个端点和一个中间点。通过这三个点，可以确定一个抛物线，进而用该抛物线来逼近曲线下面积。最终，辛普森法通过求和这些小区间上抛物线的面积，来得到定积分的近似值。高斯求积 高斯求积是一种基于多项式插值的数值积分方法。它利用特定的节点和权重...
+++ date = '2024-12-21T13:49:00+08:00' draft = true title = '数值计算方法(2) 数值积分方法' +++ 上一期讲了插值方法,这一次自然是要运用一下插值方法了。所以这一期的主题是用插值方法计算定积分。 机械求积方法 下面我们来介绍一下怎么用插值法来得到数值方法计算函数积分。
Newton-Cortes是一类等间距数值积分的统称。本文简要介绍了较为初级的方法(因为简单)——梯形法则和辛普森规则。实际上,数值积分还有很多其他方法,例如高斯积分法,外推积分法等。 1 梯形法则 梯形积分方法应该是很多人都很熟知的方法,其原理就是先把函数积分区间[a,b]分成N个小区间,步长为h,把每个区间与函数曲线围...
矩形法是最简单的数值计算定积分方法之一、它将定积分区间划分为若干个小区间,然后在每个小区间上取一个样本点,将每个小区间上的函数值乘以小区间的宽度,得到小矩形的面积,最后将这些小矩形的面积相加即可得到定积分的近似值。矩形法有两种主要的实现方式:左矩形法和右矩形法。左矩形法使用每个小区间的左端点作为样...