孤立奇点在复变函数中,孤立奇点是指函数在某一点处不解析,但在该点的某个去心邻域内其他位置均解析的情况。孤立奇点可分为可去奇点、极点和本性奇点三类,其分类依据主要依赖于洛朗展开式中主要部分的结构及极限行为。 一、可去奇点 若函数在某点的主要部分(即负幂次项)全为零,则该点为可...
如果函数 f(z) 在z0 的空心邻域上解析,即存在 ε>0 ,使得 f(z) 在D0(z0,ε) 上解析,则称 z0 为f(z) 的孤立奇点.若存在 R0>0 ,使得 f(z) 在C−D(0,R0) 上解析,则称 ∞ 是f(z) 的一个孤立奇点. 与孤立奇点相对的自然是非孤立奇点,如0不是 f(z)=1sin(1z) 的孤立奇点. 这篇...
非孤立奇点是奇点的一种。P是奇点,若P的任意去心邻域中都包含奇点,则称P为非孤立奇点。[3] 我们需要知悉,不论是零点还是极点,都应当是孤立的。 非孤立奇点分为两种: 簇点:孤立奇点的极限。如果这些孤立奇点是极点,那么尽管这些极点本身可以洛朗展开,但它们的极限,即该簇点,不能进行洛朗展开。 自然边界:任何非...
可以发现, \lim_{z\to 0}\frac{\sin{z}}{z}=1 ,如果补充z=0时f(z)=1,那么这个函数将全平面解析,好似这个奇点完全不存在一样,我们称这种奇点为可去奇点。有如下定理: 设f(z) 在有孤立奇点 z_0 ,则以下几个命题互相等价:(1) z_0 为f(z) 的可去奇点。(2) f(z) 在z_0 的去心邻域的...
一、孤立奇点的概念 定义如果函数f(z)在z0不解析,但f(z)在z0的某一去心邻域0zz0内处处解析,则称 z0 为f(z)的孤立奇点.1 例1 z0是函数ez,z1是函数 1 sinzz 的孤立奇点.z1 的孤立奇点.注意:孤立奇点一定是奇点,但奇点不一定是孤立奇点.例2指出函数f(z)解函数的...
一、孤立奇点的概念 定义如果函数f(z)在z0不解析,但f(z)在z0的某一去心邻域0zz0内处处解析,则称 z0为f(z)的孤立奇点.1z 例 sinzz0是函数e,的孤立奇点.z1z1是函数的孤立奇点.z1 2 注意:孤立奇点一定是奇点,但奇点不一定是孤立奇点.z2z0的奇点特性.例指出函数f(...
定义1 设函数f(z)在 0|z-201 R内解析, z_0 为f(z)的孤立奇点 作圆 C:1=-2n|=r ,其中0rR,称 1/(2π)∫f(z)dz 为函数f(z)在孤立奇点z0的留数,记为Res(f,zn),这里积分是沿着C按正向取 的即 Rt△CFG=1/(2π)[f(z)dz . 定理1 设D是复平面上的一个有界闭区域,若函数f(z)在D内...
注意到\lim_{k\to \infty}=\infty,故\infty是奇点的聚点。于此同时,由于\lim_{z\to \infty}f(z)不存在,因此\infty是一个非孤立奇点。 整函数与亚纯函数 整函数 在整个复平面上解析的函数称为整函数。整函数的的唯一奇点且孤立奇点为\infty,它在无穷远点去心邻域的洛朗展开式,就是在原点处的泰勒展开式...
孤立奇点指的是函数在该点附近的行为与在该点外的行为显著不同，但该点不是奇点的聚集点。如果一个点是奇点，且存在一个点列趋近于该点，这表明该点不是孤立奇点。例如，考虑函数f(z) = 1/(sin(1/z))，在z=0时该函数存在奇点，因为sin(1/z)在z趋近于0时振荡无穷。然而，存在一个点列z=...