道路类乘法具有结合律,且存在左、右单位元. 进一步;若将道路类改为闭路类,则闭路类乘法具有结合律,且存在唯一的单位元,因此可构成一个群. 于是产生了基本群的定义。 基本群: 设X为一拓扑空间,x_0为X中一点,记X中以x_0为基点的闭路类全体构成的集合为\pi_1(X,x_0). 称\pi_1(X,x_0)关于道路类乘...
克莱因四元群属于阿贝尔群家族（abelian groups），但在深入讨论它们之前，我们需要了解一个更基本的群家族，称为循环群（cyclic groups）。它们是最基本的，因为它们只有旋转对称性，这意味着对循环群只能做一件事，那就是旋转它。循环群通常被命名为C_n，n是元素的数量或它们的阶。通常我们会给一个节点分配一个...
基本群是平凡群的空间称为单连通的。可缩空间(就是可以连续收缩 成一个点)和球面都是单连通的。 基本群到整数群的同态映射全体构成一个群,叫做 1 维同调群,它们 是重要的拓扑不变量 平凡群 在数学里,平凡群是指一个只包含单一元素 e 的群,其群运算只有 e + e = e,单位元素平凡是 e,且为阿贝尔群;...
在这样定义的乘法和逆运算下,同伦等价类构成了一个群,称为拓扑空间(S)的第一基本群,记为(\pi_1(S,q))。基本群的结构一般是非阿贝尔的,这意味着群元素的乘法顺序会影响结果,反映了拓扑空间中闭圈的复杂组合关系。对于二维流形,基本群在很大程度上决定了曲面的拓扑类型,而在三维流形中,基本群与流形的几何和拓...
圆周的基本群是整数加群,其万有覆盖空间是实数轴,投影映射为指数映射。当空间存在多个孔洞时,覆盖空间呈现多叶分支结构,每绕孔洞一周即切换覆盖层。这种对应关系使得几何中的局部-整体问题转化为群的表示论问题,例如黎曼曲面的单值化定理就依赖于基本群的分析。 在微分几何中,基本群制约着流形的平行移动行为。曲率的...
基本群可能是交换群,也可能是非交换群。多数简单情况下,交换群很多。有了Van Kampen定理解的自由群会出现很多非交换群。 2楼2018-12-15 13:35 回复 ywfyx 初涉江湖 1 数年后回来看,当年其实想问的是拓扑群的基本群是不是交换的但是当时分不清楚拓扑群和拓扑空间,也不会用google 来自Android客户端3楼2023...
环道同伦群(基本群) 环道同伦群也叫基本群,它的基础是空间内的环道分类。 如上图,基于一点p的环道,有一类叫1,任何1类或叫1伦的环道,可以连续缩为1点p。它们叫同伦的环道。从p出发,逆时针绕2圈回来,就表示为12,顺时针绕3圈,可表示为1−3, 最终等于没有动,所以是单位群员1。有的书上叫0伦(做为...
在拓扑空间X中选取基点x₀,基本群π₁(X,x₀)的元素是x₀处道路类的同伦等价类,群运算由道路拼接定义。当空间存在多个路径连接的不同基点时,不同基点对应的基本群之间呈现特定代数关系,这种关系正是共轭作用的具体表现。 给定拓扑空间X中两个基点x₀和x₁,若存在连接这两个基点的道路γ,则可通过道路...
这样的话,就比较方便去建立基本群。 那么道路类有什么基本性质呢? Proposition 1:(1)若 a≃.b ,那么 a¯≃.b¯。(2)若 a≃.b,c≃.d ,并且 ac 有意义,那么 ac≃.bd。 对于第一个,设 H:a≃.b ,那么只需要作 H′:I×I→X 为H′(s,t)=H(1−s,t) (请注意两个单位闭区间...
基本群呢,就像是给空间中的圈分类的一种方式。想象一下,在一个空间里画圈圈,有些圈圈能通过变形互相转换,而有些就不行,基本群就是把这些圈圈按照能互相转换的归为一类。同调群呢,稍微复杂一点,它是从代数的角度去研究空间的拓扑结构的。可以把它看成是用代数的方法去描述空间里的一些“洞”之类的东西。 二、...