欧几里得空间中的紧性、列紧性;两个定理及其证明 莊雪心 明日隔山岳,世事两茫茫。 2 人赞同了该文章 目录 收起 波尔查诺-魏尔施特拉斯(Bolzano-Weierstrass)定理 海涅-博雷尔(Heine-Borel)定理 所需背景:数学分析的实数、序列、极限 波尔查诺-魏尔施特拉斯(Bolzano-Weierstrass)定理 叙述: Rn 中任一
证明(列紧性定理)从任何有界的数列中必可选出一个收敛的子列 答案 证明设{an}是一个有界的数列根据引理1.7.1,从中可以取出一个单调子列{a},这个子列当然也是有界的.利用定理1.5.1,得知{a}是一个收敛数列 结果四 题目 下列叙述正确的是() A. 数列1,3,5,7和数列3,1,5,7是同一个数列 B. 同一个数...
解答用“有限覆盖定理”证明“列紧性定理”。分析过程: 设是一个有界的数列,我们要证明从中必可选出一个收敛的子列。因为是一个有界的数列,可设,;显然中收敛的子列的极限必属于有限闭区间,也就是说要证明中的存在一点,必是某个子列的极限。命题:是的某个子列的极限等价于在的任何邻域中必有数列中的无限多项...
1.集合论：列紧性定理的证明首先需要对集合进行操作，如并集、交集、补集等，这就需要用到集合论的基本知识。2.实数理论：列紧性定理的证明涉及到实数的性质，如完备性、稠密性等，这就需要用到实数理论。3.测度论：列紧性定理的证明需要用到测度论中的一些基本概念，如测度、外测度、内测度等，以及...
首先，我们需要明确闭区间套的定义。设是一个非空的闭区间集合，如果对于任意的，存在唯一的，使得，那么我们就称为一个闭区间套。接下来，我们来证明闭区间套定理。假设是一个闭区间套，那么根据列紧性定理，我们可以找到一个最大的闭区间，使得所有的闭区间都包含在中。由于是闭区间套，所以存在唯一...
1. 紧的C1空间是列紧的 证明思路大致是先用紧性对一个序列找出一个“准收敛点”,即每个邻域中均有该序列中的无穷多个点;再用C1的条件证明此“准收敛点”就是收敛点。2. C2空间的开覆盖必有可数子覆盖3. 列紧空间的可数子覆盖必有有限子覆盖 用反证法,可以无妨设可数子覆盖是递增的,然后相应地取一个...
唯一性由区间长度趋于0保证。1. **构造序列**:取每个闭区间中一点x_n ∈ [a_n, b_n]。 2. **应用列紧性**:因序列{x_n}在紧集[a₁, b₁]中,存在收敛子列x_{n_k} → c。 3. **证明c在所有区间内**:对任意N,当k足够大时n_k ≥ N,故x_{n_k} ∈ [a_{n_k}, b_{n_k}]...
【题目】证明(列紧性定理)从任何有界的数列中必可选出一个收敛的子列 答案 【解析】证明设 (a_n) 是一个有界的数列.根据引理1.7.1,从中可以取出一个单调子列 (a_(in)) ,这个子列当然也是有界的.利用定理1.5.1,得知 (a_(in)) 是一个收敛数列相关...
1.列紧性定理：设X是一个实数集合，如果对于任意的有界子集S，都存在有限个点，使得这些点的任意开覆盖包含S的所有开集，那么称X是列紧的。2.介值定理：设f是一个连续函数，定义在闭区间[a,b]上，如果存在一个数c，使得f(a)现在我们来证明介值定理。证明：假设f是一个连续函数，定义在闭区间[...
而(xn)n=1∞为A中的点列，所以子列(xnk)k=1∞也在A中，即xnk∈V∩A≠∅。由V的任意性得x...