偏微分方程，简称PDE，是一种数学工具，它用于描述涉及多元函数的问题中变量随时间和空间变化的关系。与常微分方程不同，偏微分方程通常包含多个自变量，其中至少一个自变量是连续的。这种方程在物理学、工程学、生物学、经济学以及计算机科学等多个领域都有着广泛的应用，成为解决各种实际问题的关键工具。首先，我们来了...
就是一个典型的偏微分方程。 就是一个典型的常微分方程。基本性质 引入线性偏微分算子 则线性偏微分方程可简写为 线性偏微分方程有以下性质：1)如 ，则 。如 ．则 (c是常数)。2)如 是齐次方程 的通解，v是非齐次方程 的特解，则 是非齐次方程 的通解。3)如 是 的特解，则 ( 是...
得到的两部分只含有单一变量,两个含不同变量的方程相等有且只有一种情况,那就是他们等于一个常数,这个常数用lamda来表示,将其称作方程的本征值,之后我们分别来解新的到的两个常微分方程 T\left( t \right) X\left( 0 \right) =T\left( t \right) X\left( l \right) =0\rightarrow ...
拉普拉斯方程（Laplace's equation）是一个二阶偏微分方程，以法国数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace）命名。这个方程在数学物理学中起着非常重要的作用，尤其是在电磁学、流体动力学和热传导等领域。对于二维情况，拉普拉斯方程可以表示为：而在三维情况下，拉普拉斯方程表示为：其中，u是一个关于自变量x...
这里有一道经典的偏微分方程问题:函数 u(x,t) 满足方程 ∂u∂t=∂2u∂x2,x∈[0,1],t≥0u(x=0,t)=u(x=1,t)=0u(x,t=0)=x(1−x)要求解这个方程。这是一个经典的偏微分方程,傅里叶早在19世纪就已经用分离变量法给出了它的解为 (1)u(x,t)=∑n=0∞8((2n+1)π)3e−(2n...
偏微分方程是厦门大学建设的慕课、国家精品在线开放课程，该课程于2017年3月1日在中国大学MOOC首次开设，授课教师为谭忠。据2021年7月中国大学MOOC官网显示，该课程已开课9次。该课程共8章，包括引言：从音乐审美到揭秘量子纠缠；典型偏微分方程模型的建立；偏微分方程的基本概念、形成的数学问题与分类；高维波动方程...
1.0 椭圆型偏微分方程：理解稳态现象的数学工具 椭圆型偏微分方程是一类重要的偏微分方程，其在科学和工程中有着广泛的应用。特别是在描述稳态问题时，如稳态热传导、稳态电场等，这类方程发挥着关键作用。1.1 概念及特性 椭圆型偏微分方程的一般形式可以写为：A ∂²u/∂x² + 2B ∂²u/∂x∂...
偏微分方程是一个将具有一个以上变量的函数与其偏导数联系起来的方程。为了引入偏微分方程，我们要解决一个简单的问题：模拟薄金属棒内的温度作为位置和时间的函数。在此过程中，我们将从物理原理推导出一维热方程，并求解一些简单的条件：在这个方程中，温度T是位置x和时间T的函数，k、ρ和c分别是金属的热导率、...
我们针对偏微分方程 来讨论,首先我们将其重写为算子形式: ,其中 分别代表 (x) 和 (y) 方向的偏微分算子。 对于 ,Lie-Trotter Splitting 的基本步骤是: 从时间到,首先使用算子更新解: 然后使用算子 (B) 更新解: 这样,我们就通过两个简单的步骤近似求解了原方程。