偏微分中的链式法则 (Chain Rule) 因为全微分是 df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy, 因此链式法则一般被写成 \frac{df}{ds} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{dx}{ds} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{dy}{ds} 例子:对于2D平...
偏微分方程，简称PDE，是一种数学工具，它用于描述涉及多元函数的问题中变量随时间和空间变化的关系。与常微分方程不同，偏微分方程通常包含多个自变量，其中至少一个自变量是连续的。这种方程在物理学、工程学、生物学、经济学以及计算机科学等多个领域都有着广泛的应用，成为解决各种实际问题的关键工具。首先，我们来了...
所有这些偏微分方程都被称为“线性”，因为所有包含解 u(x, t) 的导数和项都是线性的。在日常生活中，许多有用的偏微分方程都是线性的，例如著名的薛定谔方程 然而，我们也经常会遇到非线性偏微分方程，例如用于模拟浅水波的 Korteweg de-Vries 方程（KdV方程），或薛定谔方程的非线性变体（用于描述光学或凝聚态...
得到的两部分只含有单一变量,两个含不同变量的方程相等有且只有一种情况,那就是他们等于一个常数,这个常数用lamda来表示,将其称作方程的本征值,之后我们分别来解新的到的两个常微分方程 T\left( t \right) X\left( 0 \right) =T\left( t \right) X\left( l \right) =0\rightarrow ...
同样，对 y偏导数为：∂f/∂y = x + 2y。这两个偏导数分别描述了在 y 和 固定时， f 随 x 和 y 变化的速率。例如，在点 (1, 1) 处， 对 x 的偏导数为3，表明当 y 保持不变， x 每增加一个单位， f 的值将增加3个单位。二、 偏微分：函数变化的线性近似 偏微分是偏导数与自变量增量的...
然而，偏微分方程也存在着它的局限性。在面对复杂的现实问题时，我们往往难以找到精确的解。然而，这正是科学发展的原动力所在。这些未解之谜，激发着科学家们不断求索，探寻更为普适、有效的解决方法。在这个过程中，偏微分方程将与其他数学领域及新兴科技紧密结合，共同开创更为美好的未来。偏微分方程作为一种神奇...
2.0 双曲型偏微分方程：理解波动现象的数学工具 双曲型偏微分方程是描述波动现象的主要数学工具，如声波、电磁波等。它们在物理学、工程学和其他科学领域中都有广泛的应用。2.1 概念及特性 双曲型偏微分方程的一般形式可以写为：A ∂²u/∂x² + 2B ∂²u/∂x∂y + C ∂²u/∂y²...
偏微分方程 未知函数具有多个自变量，含有这种未知函数的一个或多个偏导数的微分方程称为偏微分方程。如自变量只有一个就成为常微分方程。如方程不止一个，就称为偏微分方程组。 就是一个典型的偏微分方程。 就是一个典型的常微分方程。基本性质 引入线性偏微分算子 则线性偏微分方程可简写为 线性偏微分方程有...
偏微分方程在物理学中的完美应用——热方程，推导和示例 偏微分方程是一个将具有一个以上变量的函数与其偏导数联系起来的方程。为了引入偏微分方程，我们要解决一个简单的问题：模拟薄金属棒内的温度作为位置和时间的函数。在此过程中，我们将从物理原理推导出一维热方程，并求解一些简单的条件：在这个方程中，温度T...