偏微分中的链式法则 (Chain Rule) 因为全微分是 df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy, 因此链式法则一般被写成 \frac{df}{ds} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{dx}{ds} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{dy}{ds} 例子:对于2D平...
偏微分方程，简称PDE，是一种数学工具，它用于描述涉及多元函数的问题中变量随时间和空间变化的关系。与常微分方程不同，偏微分方程通常包含多个自变量，其中至少一个自变量是连续的。这种方程在物理学、工程学、生物学、经济学以及计算机科学等多个领域都有着广泛的应用，成为解决各种实际问题的关键工具。首先，我们来了...
偏微分方程 未知函数具有多个自变量，含有这种未知函数的一个或多个偏导数的微分方程称为偏微分方程。如自变量只有一个就成为常微分方程。如方程不止一个，就称为偏微分方程组。 就是一个典型的偏微分方程。 就是一个典型的常微分方程。基本性质 引入线性偏微分算子 则线性偏微分方程可简写为 线性偏微分方程有...
得到的两部分只含有单一变量,两个含不同变量的方程相等有且只有一种情况,那就是他们等于一个常数,这个常数用lamda来表示,将其称作方程的本征值,之后我们分别来解新的到的两个常微分方程 T\left( t \right) X\left( 0 \right) =T\left( t \right) X\left( l \right) =0\rightarrow ...
泊松方程（Poisson's equation）是一个二阶偏微分方程，以法国数学家兼物理学家西蒙·丹尼斯·泊松（Siméon Denis Poisson）命名。泊松方程在物理、工程学以及其他应用领域具有广泛的应用，如电磁学、流体力学和弹性力学等。泊松方程可以表示为：在三维情况下，泊松方程可以写成：其中，u是一个关于自变量x, y, z的...
然而，偏微分方程也存在着它的局限性。在面对复杂的现实问题时，我们往往难以找到精确的解。然而，这正是科学发展的原动力所在。这些未解之谜，激发着科学家们不断求索，探寻更为普适、有效的解决方法。在这个过程中，偏微分方程将与其他数学领域及新兴科技紧密结合，共同开创更为美好的未来。偏微分方程作为一种神奇...
CNN 求解偏微分方程 1.PhyGeoNet: Physics-informed geometry-adaptive convolutional neural networks for solving Parameterized Steady-State PDEs on irregular domain 用于求解不规则域上的参数化稳定状态PDE的物理信息几何自适应卷积神经网络。 简述:本文提出了一种基于卷积神经网络(CNN)的物理知识神经网络(PINN),用于...
2.0 双曲型偏微分方程：理解波动现象的数学工具 双曲型偏微分方程是描述波动现象的主要数学工具，如声波、电磁波等。它们在物理学、工程学和其他科学领域中都有广泛的应用。2.1 概念及特性 双曲型偏微分方程的一般形式可以写为：A ∂²u/∂x² + 2B ∂²u/∂x∂y + C ∂²u/∂y²...
偏微分是针对多元函数中的一个变量进行单独的局部变化，同时将其他变量视为常数时的导数。以下是关于偏微分的详细解释：定义：在多元函数分析中，偏微分是对多元函数中的一个自变量求导，而将其他自变量视为常数的过程。例如，对于函数z=f，z对x的偏微分就是当y保持不变时，z随x变化的导数。求解过程：...