Algebraic variety（代数簇）是代数几何学中的基本概念之一。它是由代数方程定义的几何对象，通常在一个固定的仿射或射影空间中。代数簇是代数方程和代数理论与几何之间的桥梁，它们将代数性质转化为几何性质，使得我们可以通过代数方法来研究几何问题。显然这个定义还是比较抽象的，为了方便理解代数簇我们举一个相对简单的...
定义: 一个仿射代数簇是上的形如 的子集 , 这里. 特别地 , 如果,称为仿射代数超曲面 , 这时称为的次数 ,中的仿射代数超曲面称为平面仿射代数曲线 . 定义: 一个射影代数簇是中形如 的子集 , 这里. 因为, 此定义是合理的 . 显然...
一个原因是,并非所有代数簇都像我们之前考虑的平面和球体那样光滑美好。有些代数簇有奇异点;粗略地说,就是尖锐的尖点。至少当你处理的是某种类型的代数簇时,双有理映射的灵活性允许你将这样的奇异簇与一个没有任何奇异点的光滑射影簇联系起来。能够以这种方式“解析”簇是一个非常有用的工具,因此从某种意义上来...
相等,这表明可以从局部来研究正则函数.代数几何中最基本的方法就是把问题归结到局部的情形,从而使用交换代数的方法来处理,如果涉及到非仿射代数簇的问题,都可以归结到仿射代数簇的情形,从而利用仿射代数簇的性质来处理,而概型的问题大多数时候也能归结到仿射概型上. 然后讨论...
定义 ( K(Y) ,function field of Y ) 如果Y 是一个代数簇,我们定义 the function field K(Y) of Y 如下: K(Y) 中的元素为 (f,U) , 同样是看作等价类(等价关系如前定义),其中 U 是Y 中的开集, f 是U 上的正规函数。 K(Y) 中的元素称为 rational functions on Y .(注意与下一节的...
如果 Y 和Z 均为Pn 中的代数簇 , 那么 Y∩Z 是否一定是代数簇 , 答案当然是不一定 , 即两个射影代数簇的交不一定是射影代数簇 , 但有一点可以肯定 , 它是代数集合 , 下面开始讨论 Y∩Z 的不可约分支的维数 . 根据向量空间理论可知, 如果 U 和V 分别是 n 维向量空间 W 的r 维和s 维子空间 ,...
代数簇的维度 在代数几何中，代数簇的维度是刻画其空间复杂度的核心指标。对于仿射代数簇 ，其维度被定义为坐标环 的Krull维数，即该环中素理想链的最大长度。射影簇的维度则通过局部仿射覆盖的维数一致性确定，这种定义方式既保持了拓扑不变性，又兼容了代数结构的深层特性。维度计算的关键定理包括Noether归一化引理，...
代数簇是由多项式方程组定义的几何对象,涵盖多样形式。从解析角度看,黎曼面上的解析函数有特殊性质。代数簇上的正则函数与黎曼面上解析函数有相似处。亏格是描述黎曼面拓扑性质的重要不变量。代数簇的维数和次数等不变量与黎曼面亏格有呼应关系。某些简单的代数曲线对应的黎曼面结构相对直观。 例如椭圆曲线对应的黎曼面...
(经典)代数数论是研究代数数域和它的代数整数环的代数和算术性质的,而高维代数簇是基 本域K上代数方程组的解,比如一维代数簇就是K上的代数曲线,考虑代数簇上的整数点,这就成了数论问题,又根据德国F。Klein的Erlanger 纲领,几何学是研究某些数学对象在某个群作用不变量的理论,如果要寻找代数几何中的作用群的话,...