在20世纪初，Fomin和Zelevinsky发明了一类新的代数，称为簇代数。其动机是代数群中的总正性和量子群中的正则基。簇代数自问世以来，已在泊松几何、泰克勒理论、热带几何、代数组合学、颤振表示理论和有限维代数等多种场合得到了广泛的应用。简介 簇代数是构造定义的交换环，其中有一组显着的生成器（簇变量 cluster...
Algebraic variety（代数簇）是代数几何学中的基本概念之一。它是由代数方程定义的几何对象，通常在一个固定的仿射或射影空间中。代数簇是代数方程和代数理论与几何之间的桥梁，它们将代数性质转化为几何性质，使得我们可以通过代数方法来研究几何问题。显然这个定义还是比较抽象的，为了方便理解代数簇我们举一个相对简单的...
定义: 一个仿射代数簇是上的形如 的子集 , 这里. 特别地 , 如果,称为仿射代数超曲面 , 这时称为的次数 ,中的仿射代数超曲面称为平面仿射代数曲线 . 定义: 一个射影代数簇是中形如 的子集 , 这里. 因为, 此定义是合理的 . 显然...
一个原因是,并非所有代数簇都像我们之前考虑的平面和球体那样光滑美好。有些代数簇有奇异点;粗略地说,就是尖锐的尖点。至少当你处理的是某种类型的代数簇时,双有理映射的灵活性允许你将这样的奇异簇与一个没有任何奇异点的光滑射影簇联系起来。能够以这种方式“解析”簇是一个非常有用的工具,因此从某种意义上来...
代数簇(algebraic variety)是代数几何的基本研究对象。设k是一个域，域k上的代数簇就是一个整的、分离、有限型k概形，这里的基域k往往被取作代数闭域。若一个代数簇又是射影、拟射影、仿射或正常k概形，则把这个代数簇相应地称为射影、拟射影、仿射、完备(代数)簇。射影簇必定是完备簇，反之则不然。永田...
定理1.3.5 对于任意集合 X\subset \mathbb{A}^n , V(I(X)) 是包含 X 的最小代数集. 证明 显然V(I(X)) 确实是包含 X 的代数集. 设若有包含 X 的代数集 V=V(J) , 这里 J 是K 的理想. 则显然 J\subset I(X) 从而由引理1.2.1有 V(I(X))\subset V(J) . ...
本文是代数几何专题中的代数簇第二篇 , 主要内容是射影代数簇 , 原文源于 Hartshorne 的经典著作《代数几何》 .定义射影代数簇与定义仿射代数簇的方式类似 , 只不过需要在射影空间 \mathbb{P}^n 中讨论问题 . 设 k…
中的代数集和 中的根理想的对应关系,有下面的定理. 定理3: 中的代数集和 中的根理想有一个由 给出的一一对应,这个对应保持包含关系,且在这个对应下代数簇一一对应于 中素理想. 如果考虑一个代数集 ,以及 中所有多项式在 上的取值,如果两个多项式在 ...
双理分类旨在将代数簇按照双有理等价的关系进行分类,这种分类方式能够揭示出不同代数簇在某种本质结构上的相似性。 ② 从基本概念说起,两个代数簇\(X\)和\(Y\)如果存在从\(X\)到\(Y\)的有理映射以及从\(Y\)到\(X\)的有理映射,并且这两个有理映射的复合在各自的定义域上等于恒等映射,那么就称\(X...