Algebraic variety（代数簇）是代数几何学中的基本概念之一。它是由代数方程定义的几何对象，通常在一个固定的仿射或射影空间中。代数簇是代数方程和代数理论与几何之间的桥梁，它们将代数性质转化为几何性质，使得我们可以通过代数方法来研究几何问题。显然这个定义还是比较抽象的，为了方便理解代数簇我们举一个相对简单的...
定义: 一个仿射代数簇是上的形如 的子集 , 这里. 特别地 , 如果,称为仿射代数超曲面 , 这时称为的次数 ,中的仿射代数超曲面称为平面仿射代数曲线 . 定义: 一个射影代数簇是中形如 的子集 , 这里. 因为, 此定义是合理的 . 显然...
经典代数几何的主要研究对象是“代数簇”(algebraic variety),最简单的代数簇(也称为代数集)是一组多元多项式的零点集合。 当其中的各个多元多项式都是一次多项式时,那么它就是线性代数中所研究的线性方程组,此时的代数簇就是我们都熟悉的线性方程组的解空间。然而当多项式...
本文是代数几何专题中的代数簇第五篇 , 主要内容是非异代数簇和完备化 , 原文源于 Hartshorne 的经典著作《代数几何》 .代数几何中的非异代数簇(Nonsingular Algebraic Varieties)的概念对应拓扑学中流形的概念 , …
本文是代数几何专题中的代数簇第一篇 , 主要内容是仿射代数簇 , 原文源于 Hartshorne 的经典著作《代数几何》 . 设k 是代数闭域 , 定义 k 上的n 维仿射空间为 An , 如果元素 P=(a1,a2,⋯,an)∈An 且坐标分量 ai∈k (i=1,2,⋯,n) , 那么称 An 是坐标分量属于 k 的全部的点构成的集合 . ...
一个原因是,并非所有代数簇都像我们之前考虑的平面和球体那样光滑美好。有些代数簇有奇异点;粗略地说,就是尖锐的尖点。至少当你处理的是某种类型的代数簇时,双有理映射的灵活性允许你将这样的奇异簇与一个没有任何奇异点的光滑射影簇联系起来。能够以这种方式“解析”簇是一个非常有用的工具,因此从某种意义上来...
探讨代数簇的群结构要从其基本元素关系入手。群作用在代数簇上能产生丰富的几何性质变化。有限代数簇的群结构元素数量有明确的限定。代数簇群结构中的单位元起着特殊的标识作用。从拓扑角度看代数簇的群结构有别样的意义。研究代数簇群结构需考虑其同态映射性质。一些代数簇的群结构和特定数域有紧密联系。代数簇群结构...
(经典)代数数论是研究代数数域和它的代数整数环的代数和算术性质的,而高维代数簇是基 本域K上代数方程组的解,比如一维代数簇就是K上的代数曲线,考虑代数簇上的整数点,这就成了数论问题,又根据德国F。Klein的Erlanger 纲领,几何学是研究某些数学对象在某个群作用不变量的理论,如果要寻找代数几何中的作用群的话,...
② 从基本概念说起，两个代数簇\(X\)和\(Y\)如果存在从\(X\)到\(Y\)的有理映射以及从\(Y\)到\(X\)的有理映射，并且这两个有理映射的复合在各自的定义域上等于恒等映射，那么就称\(X\)和\(Y\)是双有理等价的。例如在仿射平面\(\mathbb{A}^2\)中，考虑抛物线\(y = x^2\)和直线\(y =...
中的代数集和 中的根理想的对应关系,有下面的定理. 定理3: 中的代数集和 中的根理想有一个由 给出的一一对应,这个对应保持包含关系,且在这个对应下代数簇一一对应于 中素理想. 如果考虑一个代数集 ,以及 中所有多项式在 上的取值,如果两个多项式在 ...