1 魏尔斯特拉斯近似定理 魏尔斯特拉斯近似定理(Weierstrass approximation theorem)由魏尔斯特拉斯于1885年提出,此定理说定义在闭区间上的连续函数可被多项式函数任意接近地一致近似。在正式表述此定理之前,我们先要介绍何为一致近似。 定义1.1 令{fn},n=1,2,⋯ 为一个函数序列, f 为一个函数,且 E 为一个集...
用好的函数逼近坏的函数是分析的基本手段。多项式自然是非常好的函数,就此考虑用多项式来逼近连续函数。这就是 Weierstrass(第一)逼近定理。先就此证明这一简单版本的定理: \textbf{Thm.1(Weierstrass)} 对闭…
Stone-Weierstrass定理的另一种应用是在数学归纳证明中的使用。 通过使用 Stone-Weierstrass定理,可以证明许多抽象的连续函数空间定义的特性,而无需考虑每个函数空间中的每个函数。 Stone-Weierstrass定理产生了一个重要的前提,即任何一个有界、连续、周期函数空间都可以通过多项式函数空间来近似。 这个事实可以很好地解释为什...
C(X)也是一个代数,现设A是其含有1且能分离X的点的子代数,那么A稠密,这就是weierstrass-stone定理。依楼上所断言,若能证明A的闭包clA是如楼上所述的子向量格,那么L=cl(clA)=clA, 易见,为此只要证明对任意f,g∈clA, sup{f,g}与inf{f,g}也属于clA. 设f_n→f, g_n→g, p_n→abs, 其中f_n,...
stone weierstrass定理 Weierstrass定理(又称Weierstrass近似定理)是一个重要的数学定理,它指出任何一个连续函数都可以用一系列的多项式函数来近似。它是由德国数学家卡尔·魏斯特拉斯于1885年提出的,因此也被称为Weierstrass定理。 Weierstrass定理的具体表述是:设f(x)是定义在区间[a,b]上的连续函数,则存在一系列...
Stone-Weierstrass定理 令 表示一個緊緻的賦距空間(compact metric space)記 表示所有定義在 上的實值連續函數所構成的代數。如果 是 的子代數,並且 (1) (2)(separate points) 任給 中的兩點 可以找到 使得 則 構成 的稠密子代數,換句話說, 附註:給一個賦距空間 ...
我们将使用Krein-Milman定理、Banach-Alaoglu定理和测度论有关的内容来证明著名的稠密性定理:Stone-Weierstrass定理. 1. Krein-Milman定理 定义1.1 设 V 是一个凸集,p∈V ,若 p 不能表示为 V 的两个不同点的凸组合,则说 p 是 V 的端点. V 上全体端点构成的集合记为 extV . ...
现在我们可以回到Stone-Weierstrass定理。我们定义V(X,Y)为在集合X上取值于集合Y中的实函数的集合。更准确的说,V(S)=V(S,R)。 我们可以证明,V(S)是V中的一个子空间,并且在V中是稠密的。 证明思路如下: 任意函数f(x)都可以用F中的函数严密地逼近。
Stone-Weierstrass(SW)定理的一种版本表述如下:令 X 为紧Hausdorff空间, A 为连续函数代数 C(X)=C(X,R) 的一个subalgebra且包含identity。假设 A 分离 X 的点(即对任意不同的两点 x,y∈X 存在 f∈A 满足 f(x)≠f(y) ),则 A 在 C(X) 中稠密。
StoneWeierstrass定理的加细主要涉及到一致收敛的充分必要条件以及实际应用中的一些具体证明过程。以下是关于StoneWeierstrass定理加细的详细解答：1. 一致收敛的充分必要条件 保单调性：这是一致收敛的一个重要性质。如果函数序列在某区间上逐点收敛于一个函数，并且每个函数都保持相同的单调性，那么这个序列在...