在魏尔斯特拉斯近似定理的证明中,我们构造具有特定性质的多项式序列,并和原函数进行卷积(convolution),这样就得到了一致收敛于原函数的多项式序列。 2 斯通-魏尔斯特拉斯定理 斯通对于魏尔斯特拉斯最初的版本进行了改进,他不仅将闭区间一般化为紧豪斯多夫空间,还将多项式一般化为满足一定性质的函数类,从而提出了斯通-...
定理3.1 (Stone-Weierstrass定理) X 是紧Hausdorff空间,如果 \mathcal{A} 是C(X) 的包含常函数 1 的闭自伴子代数,且 \mathcal{A} 分离X ,则 \mathcal{A}=C(X) . 证明: C(X) 作为赋范空间自然是局部凸的,所以之前的两个定理都可以使用. 为了证明这个结果,我们只需证明 \mathcal{A}^\perp:=\...
现在我们可以回到Stone-Weierstrass定理。我们定义V(X,Y)为在集合X上取值于集合Y中的实函数的集合。更准确的说,V(S)=V(S,R)。 我们可以证明,V(S)是V中的一个子空间,并且在V中是稠密的。 证明思路如下: 任意函数f(x)都可以用F中的函数严密地逼近。
Stone-Weierstrass定理的另一种应用是在数学归纳证明中的使用。 通过使用 Stone-Weierstrass定理,可以证明许多抽象的连续函数空间定义的特性,而无需考虑每个函数空间中的每个函数。 Stone-Weierstrass定理产生了一个重要的前提,即任何一个有界、连续、周期函数空间都可以通过多项式函数空间来近似。 这个事实可以很好地解释为什...
C(X)也是一个代数,现设A是其含有1且能分离X的点的子代数,那么A稠密,这就是weierstrass-stone定理。依楼上所断言,若能证明A的闭包clA是如楼上所述的子向量格,那么L=cl(clA)=clA, 易见,为此只要证明对任意f,g∈clA, sup{f,g}与inf{f,g}也属于clA. 设f_n→f, g_n→g, p_n→abs, 其中f_n,...
我们将使用Krein-Milman定理、Banach-Alaoglu定理和测度论有关的内容来证明著名的稠密性定理:Stone-Weierstrass定理. 1. Krein-Milman定理 定义1.1 设 V 是一个凸集,p∈V ,若 p 不能表示为 V 的两个不同点的凸组合,则说 p 是 V 的端点. V 上全体端点构成的集合记为 extV . ...
Stone-Weierstrass(SW)定理的一种版本表述如下:令 X 为紧Hausdorff空间, A 为连续函数代数 C(X)=C(X,R) 的一个subalgebra且包含identity。假设 A 分离 X 的点(即对任意不同的两点 x,y∈X 存在 f∈A 满足 f(x)≠f(y) ),则 A 在 C(X) 中稠密。
stone weierstrass定理 Weierstrass定理(又称Weierstrass近似定理)是一个重要的数学定理,它指出任何一个连续函数都可以用一系列的多项式函数来近似。它是由德国数学家卡尔·魏斯特拉斯于1885年提出的,因此也被称为Weierstrass定理。 Weierstrass定理的具体表述是:设f(x)是定义在区间[a,b]上的连续函数,则存在一系列...
Stone-Weierstrass定理 令 表示一個緊緻的賦距空間(compact metric space)記 表示所有定義在 上的實值連續函數所構成的代數。如果 是 的子代數,並且 (1) (2)(separate points) 任給 中的兩點 可以找到 使得 則 構成 的稠密子代數,換句話說, 附註:給一個賦距空間 ...