Weierstrass逼近定理的证明(Stein I Chapter 5). 取 M>0 使得(-M,M) 包含[a,b].设 g 是\mathbb{R} 上的连续函数, 它在 [-M,M] 之外等于零, 在 [a,b] 之内等于 f. 这样的函数显然存在. 根据上一引理, 当 \delta 趋于零时 g\ast K_\sigma 一致收敛于 g. 于是存在 \delta_0 使得...
多项式自然是非常好的函数,就此考虑用多项式来逼近连续函数。这就是Weierstrass(第一)逼近定理。 先就此证明这一简单版本的定理: Thm.1(Weierstrass) 对闭区间[a,b]上的任意连续函数f,存在多项式列{Pn}在[a,b]上一致收敛到f。 区间上的情形 我们给出一个构造性的证明,这需要考虑所谓Bernstein多项式。 不妨设...
现在我们可以回到Stone-Weierstrass定理。我们定义V(X,Y)为在集合X上取值于集合Y中的实函数的集合。更准确的说,V(S)=V(S,R)。 我们可以证明,V(S)是V中的一个子空间,并且在V中是稠密的。 证明思路如下: 任意函数f(x)都可以用F中的函数严密地逼近。
因为0≤x≤1，∫−11f(x+t)Qn(t)dt肯定包含从f(0)Qn(−x)积分到f(1)Qn(1−x)的...
Stone-Weierstrass定理 令 表示一個緊緻的賦距空間(compact metric space)記 表示所有定義在 上的實值連續函數所構成的代數。如果 是 的子代數,並且 (1) (2)(separate points) 任給 中的兩點 可以找到 使得 則 構成 的稠密子代數,換句話說, 附註:給一個賦距空間 ...
介绍:Stone对Stone-Weierstrass定理证明的原始想法 Stone-Weierstrass(SW)定理的一种版本表述如下:令 X 为紧Hausdorff空间, A 为连续函数代数 C(X)=C(X,R) 的一个subalgebra且包含identity。假设 A 分离 X 的点(即对任意不同的两点 x,y∈X 存在 f∈A 满足 f(x)≠f(y) ),则 A 在 C(X) 中稠密。
经典Stone-Weierstrass定理说明，对于任意给定函数，总能找到实系数多项式的序列，使之一致收敛至该函数。本文深入探讨此定理。首先引入一致收敛的充分必要条件。引理：一致收敛的充分必要条件 条件如下：1）保单调性 2）保单调性和连续性 3）保单调性（条件弱化）4）Walsh定理 其中，证明过程略。实际应用中...
Stone-Weierstrass定理(数学解释)一 介绍:Stone-Weierstrass定理以及度量空间C[a,b]可分性的证明 本文给出Weierstrass逼近定理的三种证明方法. 第一种方法是概率论的方法, 它用到二项分布以及Chebyshev不等式; 第二种方法是调和分析的方法, 它用到高斯核函数族的性质; 第三种方法是拓扑的方法, 它直接证明Weierstrass...
Weierstrass定理的证明可以用到泰勒级数的概念,即任何一个连续函数都可以用一个无穷级数来表示,而这个无穷级数的前n项就是一个多项式函数Pn(x)。因此,Weierstrass定理可以用来证明任何一个连续函数都可以用一系列多项式函数来近似。 Weierstrass定理的应用非常广泛,它可以用来证明很多数学定理,例如泰勒级数展开定理、极限定理...