NTT/FFT其实本质相同,用途是快速求解 多项式乘积 前言 FT: 傅里叶变换: 这是一个工程上的概念,可以简述为:一个周期性的信号波段可以用 若干个正弦曲线 的带权和表示 DFT: 离散傅里叶变换,这是傅里叶变换在离散情况下的变种 FFT: 快速傅里叶变换 NTT: 快速数论变换 谈及核心思想 1.单位根: 构造ωnωn为...
FFT&NTT的数学推导 首先,我们要知道这两个是干什么的 FFT和NTT都是DFT的分治法下的优化 而DFT则是将多项式的系数表达(就是“满足f(x)=a+bx+cx2+dx3……的多项式”)变为点值表达(就是“经过(a,a'),(b,b'),(c,c')……的多项式”)的暴力算法 用矩阵表达就是: 很明显,DFT的时间复杂度为Θ(n2)...
Python代码如下,可以自行比较和FFT的差异。 P: int = 998244353 G: int = 3 GI: int = 332748118 def ntt(a: list[int], is_forward: bool = True) -> list[complex]: n: int = len(a) nbit: int = math.ceil(math.log2(n)) rev: list[int] = list(range(n)) y: list[int] = a[...
FFT与NTT NTT的矩阵形式 蝶形运算 DIT (CT Butterfly) 例子 DIF (GS Butterfly) 例子 NTT优化技术 格密码方案 全同态加密方案 写在前面 我在这里讨论同态加密(Fully Homomorphic Encryptions, FHE),或者,更宽泛意义下的格密码[1](Latticed-based Cryptography)中的计算机算术(computer arithmetic)。从计算机算术的...
\(\text{FFT}\)(快速傅里叶变换)是 \(O(n\log n)\) 解决多项式乘法的一个算法,\(\text{NTT}\)(快速数论变换)则是在模域下的,而 \(\text{MTT}\)(毛神仙对\(\text{FFT}\)的精度优化算法)可以针对任意模数。本文主要讲解这三种算法,具体的应用还请参考我博客内的题解。
FFT & NTT(入门) 1.FFT(快速傅里叶变换) 参考 对于求解\(F(n+m)=g(n)*h(m)\)的系数该怎么办? 首先要了解如何能表示一个多项式? 一系数表示法:这是我们通常在用的方法,比如一个二次函数\(f(x)=x^2+2x+1\) 二点值表示法:对于一个k次多项式,我们可以用k+1个点确定这个多项式,比如\(f(x)=...
FFT(Fast Fourier Transform)是一种高效的计算离散傅里叶变换(DFT)的算法。它通过将DFT分解成多个较小的DFT,从而大大减少了计算量。FFT广泛应用于信号处理、图像处理、声音处理以及科学计算等领域。 FFT的原理是基于傅里叶变换的周期性和对称性。它利用了复指数函数的周期性和对称性,将一个长度为N的序列分解成两...
(x.x*y.x-x.y*y.y,x.x*y.y+x.y*y.x);}voidfft(P*s,intn,intt){if(n==1)return;P a0[n>>1],a1[n>>1];for(inti=0;i<=n;i+=2)a0[i>>1]=s[i],a1[i>>1]=s[i+1];fft(a0,n>>1,t);fft(a1,n>>1,t);Pwn(cos(2*pi/n),t*sin(2*pi/n)),w(1,0);for(...
快速傅里叶变换（FFT）是一种高效计算离散傅里叶变换（DFT）或其逆变换的方法，极大地简化了计算复杂度。它广泛应用于工程、科学和数学领域。FFT的基本原理是将DFT矩阵分解为稀疏因子之积，从而将复杂度从O(n^2)降低至O(n log n)。多项式乘法是FFT的一个典型应用。计算两个多项式\(A(x) = a_0...