快速傅里叶变换(FFT)与快速数论变换(NTT) Poly,启动! 卷积是多项式的基本运算,而快速傅里叶变换(FFT)可以加速卷积的过程。由于 FFT 引入了三角函数,因此在计算的过程中会产生浮点误差。为了规避误差,我们提出了以数论为基础的快速数论变换(NTT)。它以 FFT 作为基础,但是用原根代替了复平面上的单位根。在只涉及...
四、快速数论变换NTT(Number Theoretic Transform) FFT利用单位根w的性质实现分治优化多项式乘法,原根也有这用的性质。 NTT即用原根代替FFT中的w,从而实现不用复数避免精度损失,同时实现取模。 若a,p互素,且p>1,对于an≡1(mod p)最小的n,我们称之为a模p的阶,记做δp(a)=n (a0≡an≡a2n≡...≡1) ...
关于gn的取法和原根的理解,这一篇说的比较好: 原根与NTT 正如刚才所说,FFT存在精度上的误差,有时候直接影响答案的正确输出。因此,针对整数意义上的问题,我们有NTT NTT是一个改进,我们选取一组新的点值 其中为质数,是2的方幂,且满足 上面的文章证明了,具有同n重单位复根一样的那几条性质,因此可以代替n重单位复...
FFT 代码的功能 I. 比特逆序预处理 II. n 个不同点处的赋值 代码结构的逻辑 三重循环:代码的运行 I. 第一趟归并 II. 第二趟归并 III. 最后一趟归并 IV. 代码实现(C++) 由于这块内容较多,因此还是新开一篇;前一篇讲了“比特翻转”重排序的作用和原因,可参: 兰可:FFT/NTT笔记:蝴蝶变换的换位问题21 赞同...
FFT与NTT: FFT与NTT是在O(nlog2n)O(nlog2n)的时间内解决多项式卷积的算法; (NTT可以用于模意义下的多项式卷积——模某些大费马数) 直接运用定义在已知系数的前提下进行卷积,其效率是O(n2)O(n2)的 然而在点值表达式下,求得卷积多项式的点值表达式的效率是O(n)O(n)的 那么如何在O(nlog2n)O(nlog2n...
单位根能用于 FFT ,原因就是性质优秀,所以,我们要找的就是满足单位根的一些性质的数。 而在模 pp 意义下,就可以找到这样的数。 设pp 的原根为 gg ,则 gp−1n(modp)gp−1n(modp) 就可以用于替代单位根。 对着单位根的几个性质推一推,可以发现都成立。 void NTT(int *a,int tp,int n) { for(...
NTT,数论变换。它解决的问题是:两个多项式 A,B 之积,结果每一项的系数都对质数 p 取模。 如果用 FFT 最后再取模有个问题:FFT 算出来的大多数都是浮点数,精度不足。 众所周知,FFT 是先在 n 次单位根的位置点值,然后再插值。(这里先把 A,B 扩充成 2 的幂) 阶:a 模b 的阶记作 δb(a),δb(a...
本文为基础部分。 多项式进阶:多项式的高级运算 相似算法:快速沃尔什变换(FWT) FFT与NTT用来处理多项式乘法。 快速傅里叶变换(FFT) 小学生都能看懂的FFT!!! 实质是加速“将单位根代入多项式得到点值表示”的非迭代分治做法。 DFT一遍以后数组第 \(i\) 位表示的是将
出于对字符串的恐惧,我决定小小的总结一下FFT/NTT在字符串匹配方面的使用。 NOTICE:这是我在做题目时的总结,内容并非全部原创,可能存在对相关题解的借鉴。 $对于含通配符的匹配问题 描述:在某些题目中,我们可能会遇到可以匹配任何字符的通配符 通常,我们定义匹配函数P(x)P(x): ...
NTT是用模域取代了复数域,性质相同只是换了单位根,所以板子基本相同。我这两个相比NTT确实比FFT快一点的: 1#include <bits/stdc++.h>2#definell long long3#defineri readll()4#definegc getchar()5#definerep(i, a, b) for (int i = a; i <= b; i++)6usingnamespacestd;78constintP =998244...