Miller-Rabin算法是一种高效的质数判断方法，其核心思想是通过多次尝试不同的整数a，利用费马小定理来推测一个数是否为质数。具体来说，如果一个数P（未知是否为质数）存在小于P的整数a使得a^(P-1) ≡ 1 (mod P)，那么这个数P就可能是质数。当然，这并不意味着所有满足条件的数都是质数，但通过尝试多个不同...
对于忽略乘法所以时间复杂度的 Miller-Rabin 时间复杂度为klogn,其中k为测试轮数。 llp[]={2,325,9375,28178,450775,9780504,1795265022};llmul(llx,lly,llp){return__int128(1)*x*y%p;}llfp(llx,lly,llp){llres=1;for(;y;y>>=1){if(y&1)res=mul(res,x,p);x=mul(x,x,p);}returnres...
情形⑤:若已检测过底数2,3,5,则偶数次方的底数如4,9,16,25,这些底数就不用选了 总之,可以证明Miller-Rabin算法的错误概率最大为14,实际应用远低于此(并且可以多次测试以提高正确率)这里就不再给出证明过程。
1 Miller-Rabin 算法1.1 引入Miller-Rabin 的主要作用就是判断一个较大的数是不是质数。那么根据基础数论中提到过的试除法,我们知道朴素去判断一个数是否是质数的复杂度是 O(n) 的,在 n≥1018 的时候就十分不优了。而Miller-Rabin 则是基于费马小定理进行的素性测试,所以首先我们需要知道费马小定理是什么:...
Miller–Rabin 素性测试 Miller–Rabin 素性测试(Miller–Rabin primality test)是进阶的素数判定方法。它是由 Miller 和 Rabin 二人根据费马小定理的逆定理(费马测试)优化得到的。因为和许多类似算法一样,它是使用伪素数的概率性测试,我们必须使用慢得多的确定性算法来保证素性。然而,实际上没有已知的数字通过了...
Miller-Rabin算法在基于Fermat定理的算法中是最优秀的,无论从误判概率还是从速度上看,它都优于其它Fermat类算法,例如:Fermat算法、Lehmann算法、Solovay- Strassen算法等。Lucas测试是Pomerance、Selfridge和Wagstaff提出的一种基于Lucas序列的概率素数测试算法,该算法一轮消耗的时间大概相当于6轮Miller-Rabin测试。一轮Lucas...
Miller-Rabin（素数测试算法）【作⽤】⼀般素数判定⽅法有试除法和Miller-Rabin。试除法枚举2-√n，时间复杂度为O（√n），⼀旦n特别⼤，就不适合⽤试除法进⾏判定。这时候我们可以对其进⾏ Miller-Rabin 素数测试，可以⼤概率测出其是否为素数。【两个基础理论】（1）：费马⼩定理：当p为质数...
Miller-Rabin检验的时间复杂度依赖于检验次数和待检验数的大小，其单次检验的时间复杂度通常为O(log n)，而对大数表示为数组或字符串时，时间复杂度会相应增加。此外，为理解Miller-Rabin检验的理论基础，引入了预备定理和相关定理，如费马检验的定义和定理。这些定理说明了在素数和合数之间存在特定的同态...
Miller-Rabin单次检验时间为\log n,如果n是大数,需要表示成数组或者字符串之类的,则需要时间为\log^2 n 上面这个确定性算法时间复杂度是\mathcal{O}(k\log n),k是SPRP base set的大小,n越大,k需要越大。 倘若n是一个大数,那么时间复杂度为\mathcal{O}(k\log ^2n) ...
namespace Miller_Rabin{ ll Test[11]={0,2,7,41,61}; inline bool Prime(ll X){ if(X<2) return false; ll k=0,t=X-1; while(1^(t&1)) t>>=1,++k; for(ll i=1;i<=4;i++){ if(X==Test[i]) return true; ll A=ksm(Test[i],t,X),Next=A; ...