1. 使用麦克劳林公式对f(x)=e^(x^2)进行展开，得到一个幂级数形式。2. 接着，我们需要确定这个幂级数的收敛域。由于e^(x^2)在整个实数轴上都连续，展开后的幂级数的收敛半径R为无穷大，因此其收敛域I为(-∞, +∞)。3. 利用幂级数求和函数的性质，我们可以计算出e^(x^2)的不定积分。这个积分的结果同样保持在原级数的收敛域I上，即(-∞, +∞)。总结来说，虽...
令x=e^t， 显然有 dx=e^t dt 因此原积分式子 I= ∫e^2t * t² dt = 1/2 *∫ t² d (e^2t）=1/2 *t² (e^2t） - 1/2 *∫ (e^2t）dt²=1/2 *t² (e^2t） - ∫t(e^2t）dt =1/2 *t² (e^2t） - ∫t d(e^2t）/...
上式中，m0为静止质量，m为运动质量（或称相对论性质量），v为速度，c为光速。根据牛顿的第二运动定律：注意m是变量，所以也要对其进行微分。然后，再由机械能守恒定律可得，物体的动能Ek为：对上式两边同时进行积分可得：爱因斯坦把上式中的m0c^2称为物体的静止能量E0，mc^2则为物体的运动能量E，所以物体的动...
// 装球问题（sphere packing problem）是一个来源于日常生活的问题：把同样大小的球堆积起来，怎么样才能使得密度最大？一种自然的堆积方式是，先把球铺排一层，使得每个球周围恰好有六个球与之相切。然后在适当的空隙上方再放置一层球，在适当的空隙下方也可以放置一层球。依此类推，铺至整个空间。容易算出，...
然后,终于可以祭出这个高等数学微积分里计算e 的一个重要极限了: 现在再回头看这个重要极限,想必会有更加直观的理解。 也就是说,就算银行的年利率是100%,再怎么求银行给你“复利”,年底也不可能得到超过本金e倍的余额。况且,我是没见过哪个银行的年利率是100%。
e的x^2次方的积分的解析式如下：具体来说，先将e的x^2次方用指数函数的形式表示出来，即e^（x^2），然后令u=x^2，du/dx=2x，dx=du/2x。将u代入积分式，得到：∫e^（x^2）dx=∫（1/2）e^udu/x。然后再将u代入，得到：∫e^（x^2）dx=（1/2）∫e^udu/x=（1/2）ln|u|+C。
分部积分法 ∫e^t 2tdt = 2∫tde^t = 2te^t - 2∫e^tdt = 2te^t - 2e^t + C
例如，爱因斯坦提出的质能方程式E=mc^2。究竟为何一个物体的质量所蕴含的能量恰好等于其质量与光速平方的乘积？这个方程何以能如此简洁，完美地呈现等号两边相等？方程中为何不存在其他常数？为什么我们不能将其写成E=amc^2，其中a是任意常数呢？事实上，爱因斯坦这一公式是能量与动量守恒定律的直接结果，假如在我们的...
这里也没多少微积分的知识,关键就是一个分部积分。计算思路也非常简单,就是用狭义相对论里新动量的变化率代替力F: 我把结果放到倒数第二步: 也就是说,一个物体的动能E在狭义相对论里可以表示成这样:括号外面是mc⊃2;,括号里面是相对论因子减去1。 我们把中间那一大串东西称为相对论因子(也叫洛伦兹因子),...
这暗示了在足够长的时间轴上的收敛，这让我们知道我们在处理一个无穷级数，所以我们求助于求极限的微积分工具。正如伯努利自己思考的那样，当我们以更快的频率复利时，我们的原则会发生什么变化——比如，如果我们每周复利(2.69元)，甚至每天复利(2.72元)。很明显，更频繁地计算复利会导致银行里有更多的钱，所以很...