定理:设 X 和Y 是两个集合。如果从 X 到Y 有一个单射,并且从 Y 到X 也有一个单射,则 X 和Y 之间有一个一一映射。 证:设 f:X→Y 和g:Y→X 都是单射,易知[1], g∘f:X→X 是一个单射,令 X1=g(Y) 和X2=(g∘f)(X) 。不难得知 g:Y→X1 和g∘f:X→X2 都是一一映射。因...
Cantor-Bernstein定理的内容很简单,它表述为:如果存在两个集合A和B,它们之间存在单射(一个集合中的元素不会对应到另一个集合中的多个元素)f:A→B和g:B→A,那么这两个集合的基数相等。也就是说,如果两个集合之间存在单射,那么它们的基数相等。 这个定理看起来很简单,但它的证明却不是那么容易。Cantor最初提出...
点集拓扑:Cantor-Bernstein定理 Cantor-Bernstein定理:设X和Y是两个集合。如果从X到Y有一个单射,并且从Y到X也有一个单射,则X和Y之间有个一一映射。 初学点集拓扑讲义,在看到这个定理时觉得证明有点不知所云和抽象,所以花了点时间尝试搞懂。 本文讲尽力尝试讲述该定理证明的思路,由于作者为初学者,如有错误请指...
1 定理简介 Cantor–Bernstein-Schröder 定理,也称作 Schröder–Bernstein 定理、Cantor–Bernstein 定理,是集合论中的重要定理。它的内容十分简单:如果集合A到集合B存在单射,且集合B到集合A存在单射,则集合A与集合B之间存在双射。它也可以等价地描述成:设α和β是两个奇数,且a≤b∧β≤a,则α=β。
证明 由题设知存在单射f:X→Y与单射g:Y→X.根据映射 分解定理知 X=A∪4 . Y =BUB . f(A)= B. g(B^-)=A . 注意到这里的f:A→B以及g:A →B 是 一映射.因而可作 X到Y上的一一映射F: f(x). x∈[-1 . F(x)= g(x). x∈A . 这说明 X∼Y . 定理的特例:设集合A.B.C满足...
上期我们得到了Banach的空间映射分解的结论:若f:A→B,g:B→A为两个映射 则存在A的两无交非空子集A1,A2和B的两无交非空子集B1,B2使得f(A1)=B1且g(B2)=A2 下面我们利用这一结果来进行证明 则存在非空子集X1,X2包含于X,非空子集Y1,Y2包含于Y,使得f(X1)=Y1,g(Y2)=X2 ...
通过Schroeder-Bernstein定理,这等价于有从X到Y和从Y到X的两个一一映射。我们接着写为|X| = |Y|。X的基数自身经常被定义为有着|a| = |X|的最小序数a。这叫做冯·诺伊曼基数指派;为使这个定义有意义,必须证明所有集合都有同某个序数一样的势;这个陈述就是良序原理。然而有可能讨论集合的相对的势而不用...
Cantor-Bernstein-Schroeder定理的证明 Cantor-Bernstein-Schroeder定理:A0A0和B0B0是两个集合.存在A0A0到B0B0的单射,存在B0B0到A0A0的单射,则存在A0A0到B0B0的双射. 证明:存在A0A0到B0B0的单射ff,存在B0B0到A0A0的单射gg.令f(A0)=B1⊂B0f(A0)=B1⊂B0,g(B1)=A1⊂A0g(B1)=A1⊂A0.∀...
cantor-bernstein-schroeder 定理cantor-bernstein-schroeder 定理 康托尔-伯恩施坦定理(Cantor-Bernstein-Schroeder theorem)是集合论中的一个基本定理,得名于康托尔、伯恩斯坦和 Ernst Schröder。 康托尔-伯恩斯坦定理在集合论中有着重要的应用,它提供了一种判断两个集合是否等价的判据。根据这个定理,如果存在从集合...