铺垫:在进行A-A定理的正式证明前,我们先学习几个定理(or引理),这将在之后的证明中使用,可以避免“显然易证”之类的尴尬QAQ)。 Proposition 1.3.2 在Rn 中任意有界集是列紧集,任意有界闭集是自列紧集. Theorem 1.3.7(Hausdorff(豪斯多夫)为了(完备)距离空间 (X,ρ) 中的集合 M 是列紧的必须(且仅须) M ...
引理2:欧拉序列 \{\varphi_n(x)\} 在区间 |x-x_0|\leq h 上至少有一个一致收敛的子序列。 证明:1)由于所有的欧拉折线 \gamma_n 都停留在矩形区域 R 内,即 |\varphi_n(x)-y_0|\leq b,(\forall |x-x_0|\leq h) 所以\{\varphi_n(x)\}一致有界。 2) \forall \varepsilon >0 ,取 ...
AscoliArzela引理：核心内容：AscoliArzela引理指出，若函数序列在紧集上一致有界且等度连续，则存在子序列一致收敛。应用意义：此引理在证明初值问题解的存在性中起到关键作用。通过构造欧拉折线并形成欧拉序列，利用AscoliArzela引理可以证明欧拉序列在给定区间上至少存在一个一致收敛的子序列。证明过程：首先定义...
Ascoli-Arzela引理指出，若函数序列在紧集上一致有界且等度连续，则存在子序列一致收敛。此引理是证明初值问题解存在的关键。进一步地，通过引理证明欧拉序列在给定区间上至少存在一个一致收敛的子序列，从而在区间内得到一致收敛的函数，该函数即为所求初值问题的解。最后，定理（皮亚诺存在定理）证实了连续...
证明Picard迭代序列满足Arzela-Ascoli引理的条件.证: 考虑初值问题«Skip Record If...»,其中«Skip Record If...»在«
先给出以下引理及有关定义 : 引理1(Bor el) 若闭区间〔 a, b〕被一个开区间的无穷系云={ a}所覆盖 , 则必 能从名中选出有尽子系 E一{ a :, a : ,⋯ , a ‘n} 它同样能覆盖区间〔 a , b〕(证明参见〔3〕) 。 引理2 设C〔 ...
引理2 若f∈C(X),则f在X上一致连续. 定理 设集合E 必要条件是E为有界的等度连续集. 2 主要结果的证明 引理1的证明 显然C(X)依Ⅱ・Ⅱ为一赋 范线性空间.现仅证其完备性. 设{fn}为C(X)中的Cauchy列,对任意 的正数ε,总存在N,当m,n>N时,有 ...
(,) , 证明 假设 满足两个条件 我们证明 是相对紧的 由已知 为 空间 故 为完备的 F . F X Banach CEX , 由引理 只需证明 为完全有界集 1 F . , , () , , , , 因为 为同等连续的 即对任意的 存在 对于任意的 任意的 当 F 0 = 0 F xx E ε< δδε> ∈ ∈ f 1 2 ρ ( , )...
对于一般的度量空间 [formula]，[formula] 的致密集与 [formula] 中的完全有界性有关。定义了完全有界函数族 [formula]，其值域集合 [formula] 是 [formula] 的完全有界集。在有限维空间等局部紧空间中，完全有界与一致有界等价。引理表明，一致收敛的函数列具备完全有界和等度连续的性质。定理阐述了...