本文介绍了几个常见的非欧几何公理及其涵义。 1. 平行公理 欧几里德几何中的平行公理是指经过点外一直线的一条直线,如果在该直线的同侧存在一条与该直线平行的直线,那么这两条直线将一直保持平行。但是,在非欧几何中,这个公理不成立。相反,非欧几何中的平行公理是:经过点外一直线的一条直线,将在该直线的同侧...
19世纪时，数学家们开始质疑平行公理的绝对性。他们在研究过程中发现了一些违背欧几里得公理体系的情况，从而引发了非欧几何的思考和研究。非欧几何是相对于欧几里得几何而言的，它涉及到不同的公理假设以及与欧几里得几何不同的性质。黎曼几何是最著名的非欧几何形式之一，由数学家黎曼所发展。在黎曼几何中，存在无数条...
非欧几何的发展引起了热烈的争辩。两千年来,大家以为只有一种真实的几何,那就是欧几里得几何。如果欧几里得几何是真的,另外的几何就应该是假的,不相容的,有矛盾的。但是,反对非欧几何的人一直不能从非欧几何中推出矛盾。恰恰相反,数学家利用在欧几里得几何之内构造模型的办法,证明了如果欧式几何内部无矛盾,非欧几何也...
在非欧几何学的创建上,德国的高斯,俄国的罗巴切夫斯基、匈牙利数学家波尔约最先意识到,第5公理是可以被替代的。1830年,罗巴切夫斯基用罗氏平行公理替代了欧式几何学中的平行公理,创立了第一个非欧几何学——罗巴切夫斯基几何。在这门几何学里有个基础前提,“即在一个平面上,过已知直线外一点至少有两条直线与该直线不...
公理化方法非欧几何的出现,使数学家注意到古希腊把公理当作自明的真理的局限性。分析的算术化研究不断深入,逐渐形成了科学的公理化方法。构造一个公理体系并不容易,要求满足以下条
浅谈欧式几何与非欧几何公理的关系摘要:非欧几何是人们在不断研究欧式几何的过程中,不断发展起来的又一套几何公理体系,它包括罗氏几何、黎曼几何、拓扑几何等许多部分,在解决非人们日常经验所不能理解的问题时有重大意义。不过,在度过了最初的探索期之后人们开始重新审视非欧几何与欧式几何间的关系,抑或是说,哪种几...
非欧几里得几何是指不同于欧几里得几何学的几何体系,简称为非欧几何,一般是指罗巴切夫斯基几何(双曲几何)和黎曼的椭圆几何.它们与欧氏几何最主要的区别在于公理体系中采用了不同的平行定理. 欧氏几何与罗氏几何中关于结合公理、顺序公理、连续公理及合同公理都是相同的,只是平行公理不一样.欧式几何...
欧几里德的《几何原本》,一开始欧几里德就劈头盖脸地给出了23个定义,5个公设,5个公理.其实他说的公社就是我们后来所说的公理,他的公理是一些计算和证明用到的方法（如公理1：等于同一个量的量相等,公理5：整体大于局部等）他给出的5个公设倒是和几何学非常紧密的,也就是后来我们教科书中的公理...
欧几里得的“几何公理体系”也并不另外。有人就曾经列举过几何原本至少存在的以下五个方面的不足:一、希尔伯特(Hilbert,David)公理体系 几何基础希尔伯特公理体系和非欧几何讲解第一,定义含糊不清,有时无法理解,所用的都是一些日常用语,而不是精准的数学语言,如“点是没有部分的”,“线是有长度但是没有宽度的”...
几何基础希尔伯特公理体系和非欧几何讲解 第一，定义含糊不清，有时无法理解，所用的都是一些日常用语，而不是精准的数学语言，如“点是没有部分的”，“线是有长度但是没有宽度的”等等。第二，证明过程常常依赖直观，这样可能由于作图的不精准或直观错觉，导致得出不正确的结论。几何基础希尔伯特公理体系和非欧几何...