设G是有限交换p-群.证明:如果G只有一个p阶子群,则G必为循环群 答案 证设G的初等因子组为 |p^k| p&,…, p^ks) ,即有G=C_I*C_(I_2)*⋯*C_(ij)(1其中 C_(ij)=(a_i) 为 t_i=p^k 阶循环群,即 |a_i|=p^k ,i=1,2",S如果 s1 ,则显然由(1)知 a_1 , a_2 ,…, a_s...
设G是有限p-群.证明:如果G只有一个指数为p的子群,则G必为循环群 答案 证设|G|=p^n ,并对n用数学归纳法当n=1时结论显然.假定对 kn 时结论成立,下证对 G|=p^n 时结论成立.设C是G的中心,由275题知 |C|1 ,故 |G/C|p".再由于易知(G/C:H/C)=p⇔(G:H)=p,而由题设G只有一个指数为...
由于q不整除p-1,因此p不能整除q^{k},因此P是G的一个非平凡p-子群,且Q是G的一个非平凡q-子群。由于p和q都是质数,因此p和Q都是循环群。设g是P的一个生成元,h是Q的一个生成元。由于P和Q都是循环群,因此存在正整数x和y使得g^{x}=h^{y}=1。由于p>q,因此p和q互质,根据中国...
全部假设.如果 s1 ,则循环群C_(i_1)=(a_1) 与 C_(i_2)=(a_2) 均有惟一的指数为p的子群K_1=a_1^p) , K_2=(a_2) .于是 G_1=K_1*C_(t_2)*⋯*C_(l_1) 与 G_2=C_(t_1)*K_2*C_(L_3)*⋯*C_(10)便是G的两个指数为p的子群,与题设矛盾.故必s=1,即G为循环群....
于是= = ( aba 所以aba-1b-1∈H∩K.因为(3,5)=1,所以H∩K={e},从而aba-1b-1=e,由此得ab=ba,因此ordab =15,所以G为循环群此结论的推广形式为设G为pq阶群,这里p,q为不同的素数.如果群G有唯一的p阶子群和唯一的q阶子群,则G是循环群此结论的证明也与上面的证明类似.读者不妨自己把证明补上...
反证法。如果G只有平凡子群,则G中任一非幺元a都可以生成G,即G是循环群,矛盾。 结果一 题目 设(G,*)是n阶群,如果(G,*)不是循环群,证明(G,*)必有非平凡子群 答案 反证法.如果G只有平凡子群,则G中任一非幺元a都可以生成G,即G是循环群,矛盾. 结果二 题目 设是n阶群,如果不是循环群,证明必有非平凡...
试证明,如果< G,*>是一个循环群,则< G,*>的每一个子群、都必定是个循环子群。请帮忙给出正确答案和分析,谢谢!
证明设|G|=pp…p是标准分解式.由于G的每一个Sylow子群都是G的正规子群,所以对每一个 p;,G有唯一的 Sylow p;子群 P,且对任意的x∈P_i y∈P_3,i≠j ,有xy = yx(1)设 xε(P_1P_2⋯P_i)∩P_(i+1) , 1≤i≤s-1 ,则ni+1x^(p_1^1)p_2^(n-2)⋯p_1^(n_1^2)=x^(p_...
设G 是群,N是G的正规子群.证明:如果N 及商群都是周期群,则G也是周期群.目的:证明G 中的每个元素的阶均有限 相关知识点: 试题来源: 解析 证明:任取则,但因为商群是周期群,故有正整数m使即,又因为N也是周期群,故有正整数n使从而a的阶有限,即G是一个周期群....
【题目】设N是群G的正规子群.证明:如果G是完全可分解群,则存在G的正规子群H,使G=N*H.即完全可分解群的正规子群都是其直积因子