如果我们无法求得原函数,那么我们就需要通过蒙特卡洛积分法: 首先我们可以在积分区间上进行均匀采样得到:,样本对应的函数值为: 然后我们可以求和得到: 这个方法和黎曼积分非常相似,可以借用黎曼积分的图直观理解:即为我们在曲线中近似的每一个矩形的宽,而则为每一个矩形的高,所以我们用这个方法算出的就可以作为A的近...
现在假如我们要计算一个定积分:A=∫abf(x)dx 我们可以使用牛顿-莱布尼茨通过求原函数来算这个积分(F(x)是f(x)的原函数):A=∫abf(x)dx=F(b)−F(a) 如果我们无法求得原函数,那么我们就需要通过蒙特卡洛积分法: 首先我们可以在积分区间[a,b]上进行均匀采样得到:X1,⋯,XN,样本对应的函数值为:f(X1)...
这里的p加了uniform的下标,代表是均匀分布,其实前面的p也都是均匀分布,只是没有加这个标识,一开始我们就是以均匀分布为前提,套入蒙特卡洛的统计学思想来推导。 最终可以得出以蒙特卡洛的方式计算积分,最终可以得出正确的积分值 \int f(x)dx = I 现在,我们可以把p换成任意分布形式,不一定要均匀分布,并且以离散的...
上的期望.这里 就是重要性权重 作用 我们知道重要性采样就是引入一个新的分布来更好的估计,这解决了原本分布难采样的问题.举个例子. 假设我们要估计一个工厂里面产品的质量,假设每个工厂里面有两条生产线A和B,比例为2比1,通常来说A生产线的质量会比B生产线要好,这个时候我们要估计整个工厂的产品的质量,但是由...
二、蒙特卡洛积分与重要性采样 根据以上叙述,假设这里我们要计算一个一维积分式 A=∫baf(x)dx(3)(3)A=∫abf(x)dx 根据经典的方法,我们需要求得f(x)f(x)的原函数F(x)F(x),才能解出这个积分结果,但如果f(x)f(x)的原函数形式复杂,或者根本求不出来,总之在不知道F(x)F(x)的具体形式的情况下,如果...
蒙特卡洛估计的优点包括：计算结果无偏，且随着样本数量增加，方差减小，收敛速度较快，不受维度影响。重要性采样通过调整概率密度函数，使得高频部分得到更多样本，从而提高估计精度。分层采样则将积分区间划分为多个部分，分别进行估算，从而降低方差。在实践中，可以通过改进蒙特卡洛估计来优化计算过程。例如，...
分层采样/Stratified Sampling 重要性采样 俄罗斯轮盘/ Russian Roulette 实践:IBL漫反射贴图 张亚坤:看懂蒙特卡洛积分(一) 概率分布变换与随机采样262 赞同 · 17 评论文章 概率论背景 (1) 数学期望 设X 是随机变量, Y 是X 的函数, Y=g(X)。 A. 如果 X 是离散型随机变量, 其分布列为 pi=P{X=xi}(i=...
这里用一幅图来说明,采样也是要讲究策略的,否则效果会很差: 由于定积分值就是曲线下的面积,显然,如果我们采样的点恰巧大部分处于圆圈内,那么这些点下的面积之和必然比较小,此时,我们按前面所说的计算矩形面积的方法算得的积分值,是远远不能反映积分的真实值的。也就是说,圆圈处的点,对积分值的贡献小,靠近 x...