莫比乌斯反演是数论中的重要内容。对于一些函数 ,如果很难直接求出它的值,而容易求出其倍数和或约数和 ,那么可以通过莫比乌斯反演简化运算,求得 的值。 开始学习莫比乌斯反演前,需要先学习一些前置知识:数论分块、狄利克雷卷积。 莫比乌斯函数 定义 为莫比乌斯函数,定义为含有...
莫比乌斯反演是数论中的重要内容。对于一些函数 ,如果很难直接求出它的值,而容易求出其倍数和或约数和 ,那么可以通过莫比乌斯反演简化运算,求得 的值。 开始学习莫比乌斯反演前,需要先学习一些前置知识:数论分块、狄利克雷卷积。 莫比乌斯函数 定义 为莫比乌斯函数,定义为含有...
我们如果把每一个正整数当作一个可重集合(包含了它所有的素因子),那么莫比乌斯反演: f(n)=∑d|ng(d)⇒g(n)=∑d|nμ(nd)f(d) 其实就是可重集合的子集反演: f(S)=∑T∈Sg(T)⇒g(S)=∑T∈Sμ(S−T)f(T) 莫比乌斯函数取值的推导,可以考虑归纳证明: ...
利用狄利克雷乘积的结合律,我们可以得到莫比乌斯反演公式: 定理(莫比乌斯反演定理):对于两个数论函数f(n)和g(n), g(n)=\sum_{d|n}f(d) 当且仅当 f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)g(n/d)。 证明:用狄利克雷卷积来表示,则需证明 g=(1*f)\iff f=(\mu*g)。必要性: g=(1*f)=(1*(\mu*g))...
定义了一个新的算术函数g。那么将f映到g的算子T有逆算子,其表达式即为所谓的莫比乌斯反演公式 (I)其中μ定义在上,称之为“莫比乌斯函数”:μ(1)=1;若n是k个相异素数之积,则μ(n)=(-1);若n的素数分解式包含一个素数平方,则μ(n)=0。历史上,莫比乌斯反演公式的源头是莱比锡大学莫比乌斯教授于1832...
有了卷积的强大工具,我们可以给莫比乌斯反演公式一个更简洁的证明。首先,公式(*)可写成卷积形式g=f*1。进而,反演公式(I)从右到左的推导过程是 反过来,在(I)成立的条件下,如下步骤推导出(*)为真: 由此可见,在狄利克雷卷积的语境内,经典莫比乌斯变换...
既然我们已经学了二项式反演定理 那莫比乌斯反演定理与二项式反演定理一样,不求甚解,只求会用 莫比乌斯反演长下面这个样子(=・ω・=) d|n,表示n能够整除d,也就是d是n的所有因子 μ(x)是莫比乌斯函数,它是这样计算的 μ(1) = 1 x = p1 * p2 * p3 ……*pk(x由k个不同的质数组成)则μ(x) = (...
莫比乌斯反演在数论中占有重要的地位,许多情况下能大大简化运算。那么我们先来认识莫比乌斯反演公式。 定理: 和 是定义在非负整数集合上的两个函数,并且满足条件 ,那么我们得到结论 在上面的公式中有一个 函数,它的定义如下: (1)若 ,那么 (2)若 ,
莫比乌斯反演 定理 和 是定义在非负整数集合上的两个函数,它们之间满足关系 那么就有结论 这个定理即为莫比乌斯反演定理. 还有另外一种形式 若 则 证明 这里只给出第一种形式的证明,第二种形式同理. 由定理可设 //这一步没看懂的去看交换求和,接下来都为交换求和的知识点 ...