然后引入莫比乌斯变换和莫比乌斯反演公式. 定义2:如果数论函数f(n)和g(n)满足f(n)=\sum_{d\mid n}g(d)=\sum_{d\mid n}g(\frac{n}{d}),\\称f(n)为g(n)的莫比乌斯变换,而g(n)为f(n)的莫比乌斯逆变换. 定理2\;(Möbius反演公式):如果数论函数f(n)和g(n)满足\\f(n)=\sum_{d\mid n...
常用莫比乌斯反演公式 常⽤莫⽐乌斯反演公式1.[f(n)=1]=∑ d∣nµ(d)证明 ∑ d∣nµ(d)=µ(1)+µ(p1)+µ(p2)+⋯+µ(p k)+µ(p1p2)+⋯+µ(p1p2⋯p k)=k 0+ k 1(−1)+ k 2(−1)2+⋯+ k k(−1)k =(1−1)k=0 2.n ∑ i=1 m ∑ j=1[...
φ=id∗μφ=id∗μ μ∗u=eμ∗u=e id=φ∗uid=φ∗u 其中σσ是约数个数,id是映射到自己的函数,u是把所有数映射到1的函数,e是单位元函数,φφ是欧拉函数,μμ是莫比乌斯函数. 对于第一个式子,直接把右边卷积算就是显然了. 对于第二个式子就是把右边卷积然后,右边看成一个容斥的式子就好...
莫比乌斯反演形式一: f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)F(\frac{n}{d})" title="\large F(n)=\sum_{d|n}f(d)=>f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)F(\frac{n}{d})" style="visibility: visible; width: 427px; height: 61px;" data-type="block"> 证明: 把 代入右边的式子,得: 根据莫比乌斯函数的...
考虑到莫比乌斯函数的定义式 \mu(n) = \left\{ \begin{gather} (-1)^d & \nexists p \in \text{prime},p^2|x \\ 0 & \exists p \in \text{prime},p^2|x\\ \end{gather} \right.\\ 如果要求出一定区间内所有的 \mu 的值,则欧拉筛稍作修改即可以 \mathrm O(n) 的复杂度筛出 \mu ...
莫比乌斯反演公式 : 设 是算术函数,他的和函数 是积性函数,那么 也是积性函数。 对于大于 的正整数 对于任意正整数 是欧拉函数. Code: 找 内互质的数的对数,分块优化 ll solve(ll n,ll m ) { if (n>m)swap(n,m); ll ret=0; for (int i=1,last;i<=n;i=last+1) ...
几个常用的莫比乌斯反演公式(持续更新) 前言 定义一下几个常用函数。 I(n)=1I(n)=1 N(n)=nN(n)=n u(n)=⌊1n⌋u(n)=⌊1n⌋ nn=pa11×pa22×...parrp1a1×p2a2×...prar当有任意aiai>11时:μ(n)=0μ(n)=0否则μ(n)=(−1)rμ(n)=(−1)r...
[公式]欧拉函数的性质也常通过此方式证明。[公式]采用狄利克雷卷积方式时,利用卷积的特性,证明过程如下:[公式][公式][公式][公式][公式]在此方式下,I(n)作为单位元的性质显现,通过该性质可得到莫比乌斯反演公式的另一种证明。通过以上两种证明方式,我们可以深入理解莫比乌斯反演公式的精髓和应用,...
对应于离散情形下的一般公式(#),(**)和(Ⅱ)的推广形式是: 欧拉函数 既然经典的莫比乌斯反演公式是为数论而生,不给出它在数论中的一个具体应用似乎说不过去。我们就选数论中名气大的欧拉函数φ做例子。该函数是欧拉(Leonhard Euler,1707-1783)于1763年引进的,它在自然数n处的值φ(n)被定义为不大于n并与n互...