X=spec(R) 定义为 R 上所有素理想构成的集合,其成为环 R 的谱(spectrum)。 X 上可以定义拓扑:定义闭集为: S(a)={p|p⊇a,p∈X} ,其中 a 为环R 的理想。 可以验证 X 构成一个拓扑空间,例如: S(a)∪S(b)=S(ab)=S(a∩b)。
交换幺环整环主理想整环整数环整数上一元多项式环数域上一元多项式环 非主理想是否存在 存在 存在 不存在 不存在 存在 不存在 极大理想与素理想的关系 含于素理想 含于素理想 同于素理想 同于素理想:(0)、(p) 含于素理想 同于素理想:不可约多项式 前面三个不是具体针对某一个环,而后面三个是具体的环的例...
或或是素理想。 推论1.交换幺环是整数,当且仅当是素理想。 定义2.是环的理想,若,且不存在的真理想,使得,则称是极大理想。 例2. 整数环是素数。设是的理想,且,故存在,但,故和互素,则存在,使得,进而是极大理想。 例3.是域,是的极大理想,事实上,设是的理想,且...
这是因为由生成的主理想中的元素必然有整数因子,而任意含整数因子的整数必然属于该主理想。 由上可知,素理想是素数在环论上的推广,对应“素数倍数的集合”,也是其名字的由来。 命题1 交换环中素理想的充要条件 设是交换环的理想,则是素理想商环为整环。 必要性: 首先, 是交换环 是交换环,于是只需证明其不...
Th1:设R是可换环,I是R的理想,则R/I是整环I是R的素理想 证明:)R/I是整环,a,b∈R,ab∈I,由于(a+I)(b+I)=ab+I=I,故a+I=I或b+I=I,即a∈I或b∈I,从而I是一个素理想.)反之,设I是素理想,在R/I中,假定有(a+I)(b+I)=I,则ab∈Ia∈I或b∈I,即a+I=I或b+I=I,即R/I没有真零...
我们发现这两个例子中,理想与“整除”有关,而数论中与整除相关的一个重要概念就是素数。由素数的定义,可以推广出极大理想;由素数的性质,可以推广出素理想。 先看素理想。我们会发现素理想对应的商环是个整环。整环是指一个没有非零的零因子的交换幺环。
📚 在抽象代数中,极大理想和素理想扮演着重要的角色。它们不仅是研究商环成为整环和域的关键工具,还揭示了环论的深层结构。🔑 极大理想与域:当环为非零的、有1的交换环和主理想环时,极大理想与域的概念紧密相连。同样,素理想与整环的关系也值得深入探讨。🌐...
(1) R 必然是素理想.(2) 零理想{}0是Z 素理想⇔R 是无零因子环.主理想 从主理想的定义可以看出，主理想是环R 的一类构造既简单又容易掌握的理想。特别是，当R 是有1的交换环时，则(a)的构造更为简单，很象整数环Z 中的理想(a)，有R 中一切形如na 的元构成，其中n 为任意整数。我们知道主理想...
素理想和极大理想在特殊环上的应用 整数环 多项式环 参考 【抽象代数】§ 2.1 环的定义、零因子、整环、除环、域及其概念之间的剖析 【抽象代数】§ 2.2 同态、子环、理想、商环、同态基本定理 (qq.com) 本文参考Algebra:Chapter0,所以不可避免地会进行中英的混杂,一些定义、命题的叙述笔者直接从书上照搬过来,...
接下来,我们将介绍素理想的概念。在交换环中,一个理想是一个满足特定性质的子集。具体来说,如果一个交换环R的一个子集I满足以下条件,那么I就是R的一个理想。 1. 加法封闭性:对于R中的任意两个元素a和b,如果a和b都属于I,那么a+b也属于I。 2. 加法逆元封闭性:对于R中的任意一个元素a和I中的任意一个...