一、算子的谱分解 算子的谱分解是将一个线性算子表示为其特征值和特征向量的线性组合的过程。考虑一个线性算子A,它作用于一个向量空间V上。如果存在一组特征向量v₁, v₂, ... , vₙ,并且它们对应的特征值λ₁, λ₂, ... , λₙ满足下式: A(vᵢ) = λᵢvᵢ (1) 则可以将算子A...
谱分解定理:设是有限维内积空间,是上的线性算子谱分解定理:设V是有限维内积空间,φ是V上的线性算子 当是酉空间(欧式空间)时是正规算子(自伴随算子)当V是酉空间(欧式空间)时φ是正规算子(自伴随算子) 是的所有不同的特征值,是属于的特征子空间λ1,λ2,...,λk是φ的所有不同的特征值,Wi是φ属于λi...
紧算子的谱分解定理 紧算子的谱的性质 自伴紧算子 这是笔者对于同名讲座的一份笔记,之后的一些讲座视情况也会po笔记。 前置知识 这是一些你需要了解的东西。 紧集 指在指定拓扑下任意开覆盖有有限子覆盖的集合。 基本例子:有限维空间的有界闭集是紧集。 预紧集(relatively compact set):闭包是紧集的集合。 紧映...
因为谱分解(对角化)意味着把线性算子(在一组基下)看成(在每个子空间上)乘法算子,有穷维情况就是矩阵对角化(退而求其次就是Jordan标准型),无穷维就是无穷维对角矩阵。而乘法算子是形式最简单的线性映射。数学就是要把复杂的事物往简洁的形式转化,谱分解让我们看清楚一个线性算子的作用,在一定条件下,就是一系列...
6.4 自共轭紧算子的谱分解 在下⾯, 我们设 E = H 为 Hilbert 空间且 T P L(H). 将 H˚ 视为与 H 相同, 那么 T ˚ 就是从 H 到它⾃⼰的有界算⼦. 定义. 有界算⼦ T P L(H) 称为是自共轭算⼦, 如果 T ˚ = T . 即, (Tu, v) = (u, Tv), @u, v P H. 命题...
Dirac算子是一种非常强大的线性算子,它能够将复杂的函数表示成一种简单的基本表示形式。例如,它可以将一个多项式f(x)表示成一系列线性变换T_k x的组合,其中T_k x表示一系列的Dirac算子。 常型Dirac算子的谱分解是将函数f(x)表示成一系列线性变换T_k x的组合,其中T_k x表示一系列的Dirac算子。这样,对于任意...
紧算子的谱分解定理是紧算子理论中的核心定理之一，该定理指出，紧算子可以分解为有限维空间的特征值和无穷维空间的非零谱点。这个定理在无穷维空间中的应用尤为重要，因为它允许我们将紧算子分解为多个子空间，每个子空间对应一个特定的特征值。在证明紧算子的谱分解定理时，首先需要了解有限维空间和闭集...
要研究自伴算子的谱分解, 自然少不了分析这个算子. 基于某些原因, 我们接下来均讨论这个算子, 它和没有本质区别, 但是因为的系数为正, 更方便分析一点. 假设, 则就是自伴算子. 为了构造出谱族, 我们就需要找到一些和...
紧致自共轭算子的谱分解定理在希尔伯特空间第四节中探讨，这一节的目标是利用非标准分析手段进行证明。首先，解释几个关键概念：紧致算子意味着有限点映射为近准点；自共轭算子的定义是算子与自身的共轭相等；谱则是特征值的泛化，表示算子在有界算子作用下没有有界的逆算子。本节的证明基于一系列引理。引...