矩阵的2范数(又称谱范数或Euclidean范数)定义为矩阵的最大奇异值,或等价于其共轭转置矩阵与自身乘积的最大特征值的平方根。它在数值稳定性、工程优化及数学分析中具有重要作用,常用于量化矩阵的“最大拉伸”能力。以下从定义、计算、性质、应用及与其他范数的关系展开说明。 1. 定义与数学...
矩阵的2-范数,也称为Frobenius范数,是矩阵元素平方和的平方根。对于一个给定的矩阵 $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ 或 $A \in \mathbb{C}^{m \times n}$ (其中 $\mathbb{R}$ 表示实数集,$\mathbb{C}$ 表示复数集),其Frobenius范数定义为: [ |A|F = \sqrt{\sum{i=1}^{m} \sum_{...
矩阵2范数定义为\(\|A\|_2 = \sqrt{\lambda_{max}(A^TA)}\)，其中\(\lambda_{max}(A^TA)\)是\(A^TA\)的最大特征值 。对于实矩阵\(A\)，\(A^TA\)是对称半正定矩阵 。对称半正定矩阵的特征值均为非负实数 。计算矩阵2范数时，需先求解\(A^TA\) 。求解\(A^TA\)需进行矩阵乘法运算 。...
计算矩阵2范数需要借助奇异值分解。任意实数矩阵A都能分解成三个矩阵的乘积形式：A=UΣV^T。Σ对角线上的元素称为奇异值，按从大到小排列。其中U和V是正交矩阵，Σ是对角矩阵。矩阵2范数等于Σ中最大的那个奇异值，也就是σ₁。实际操作时，可以通过计算矩阵A^TA的最大特征值再开平方得到。最终结果就是矩阵...
- 非正规矩阵: 设A=[0100], 其奇异值为{1,0}, 故‖A‖2=1, 但谱半径ρ(A)=0(因为特征值全为 0). 此时‖A‖2>ρ(A). 因此, 2 范数 = 最大奇异值 对任意矩阵成立,无需正规性 仅当矩阵正规时,2 范数才等于谱半径 (‖A‖2=ρ(A)). ...
那么说到具体几几范数,其不过是定义不同,一个矩阵范数往往由一个向量范数引出,我们称之为算子范数,其物理意义都如我上述所述。 以上符合知乎回答问题的方式。 接下来用百度回答方式: 0范数,向量中非零元素的个数。 1范数,为绝对值之和。 2范数,就是通常意义上的模。
向量序列的极限：向量序列极限可以转化为范数极限：6.2矩阵范数 矩阵范数的定义：所以矩阵存在一范数，...
举个例子，当矩阵是[[2,0],[0,1]]时，转置相乘得到[[4,0],[0,1]]，最大特征值4开平方得2，这就是谱范数。实际计算时有个聪明办法叫奇异值分解。比如有个3×2矩阵，分解后中间矩阵的对角线元素是5和3，那2范数就是5。把矩阵拆成三个简单矩阵的乘积，中间那个对角矩阵的非零元素就是奇异值，直接找...
2、1范数 概念:║A║1 = max{ ∑|ai1|, ∑|ai2| ,…… ,∑|ain| } (列和范数,A每一列元素绝对值之和的最大值) (其中∑|ai1|第一列元素绝对值的和∑|ai1|=|a11|+|a21|+…+|an1|,其余类似); 矩阵的1范数和向量的1范数雷同,不能直接求解,只能分情况讨论 ...
矩阵的2范数，也被称为矩阵的谱范数或最大特征值，其求法是通过计算矩阵的特征值和特征向量来得到的。具体公式为：矩阵A的2范数等于矩阵AA的转置的最大特征值的平方根。矩阵A转置指的是将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。计算步骤如下：计算步骤 1. 计算矩阵A的转置矩阵AT。2. 构建新的矩阵B = ...