一、矩阵的等价 1.1等价的定义 1.2等价的性质(充分且必要) 1.3等价的注意点及其延伸 二、矩阵的相似 2.1相似的定义 2.2相似的性质(必要非充分) 2.3相似的注意点及其延伸 三、矩阵的相似对角化(补充) 3.1相似对角化的定义 3.2相似对角化的条件 3.3相似对角化的注意点及其延伸 四、矩阵的合同 4.1合同的定义 4.2合...
1.矩阵等价 对于可逆矩阵P和Q使得PAQ=B,那么矩阵A与B等价。 注意,A和B均可以不是方阵。 特别是,对于可逆矩阵P使得PA=B或者对于可逆矩阵Q使得AQ=B,那么A和B也等价。 我们知道,一个矩阵左边乘一个可逆矩阵,相当于进行初等行变换,右边乘一个可逆矩阵,相当于进行初等列变换。 因此,矩阵等价的本质是对矩阵进行初...
1、等价,相似和合同三者都是等价关系。 2、矩阵相似或合同必等价,反之不一定成立。 3、矩阵等价,只需满足两矩阵之间可以通过一系列可逆变换,也即若干可逆矩阵相乘得到。 4、矩阵相似,则存在可逆矩阵P使得,AP=PB。 5、矩阵合同,则存在可逆矩阵P使得,P^TAP=B。 6、当上述矩阵P是正交矩阵时,即PT=P(-1),则有...
矩阵的合同,等价与相似 矩阵的合同、等价和相似是三种不同的关系。 合同关系是指对于两个矩阵A和B,存在一个可逆矩阵P,使得PAP^{-1} = B。也就是说,两个矩阵可以通过一个可逆矩阵的相似变换,得到一个相同的矩阵。 等价关系是指对于两个矩阵A和B,存在两个可逆矩阵P和Q,使得PABQ = I,其中I为单位矩阵。
1.实对称矩阵 A 与B 合同⇔ xTAx 和xTBx 具有相同的正负惯性指数(标准型下-特征值) 2.实对称矩阵 A 与B 合同⇒ r(A)=r(B) , AT 与BT 合同, AT 与BT 合同. 3..实对称矩阵 A 与B 相似⇒ A 与B 合同 相似(秩,正负惯性指数,特征值均相同)必合同(秩和正负惯性指数相同),合同必等价(秩相...
相似关系是等价关系。也就是说，如果A相似于B，那么B相似于A。如果A相似于B且B相似于C，那么A相似于C。相似矩阵有相同的秩。相似矩阵的特征多项式和特征值相同。矩阵的合同 两个矩阵A和B如果满足存在一个可逆矩阵P，使得A=P^TBP，则称A和B合同。合同矩阵具有以下性质：合同关系也是等价关系。合同矩阵的秩相同...
而矩阵合同则存在可逆矩阵P使得PATAP=B。当上述矩阵P是正交矩阵时,A和B之间既满足相似关系,又满足合同关系。 矩阵等价、相似、合同的联系 矩阵等秩是相似、合同、等价的必要条件,但相似、合同、等价是等秩的充分条件。矩阵等价是相似和合同的必要条件,而相似和合同是等价的充分条件。
在线性代数中,矩阵的等价、相似和合同关系是几个重要的概念。以下是对这些关系的总结:✅1. 相似矩阵必定等价,合同矩阵也必定等价; ✅2. 在没有其他前提条件的情况下,相似和合同之间没有必然联系。可以找到相似但不合同的矩阵,也可以找到合同但不相似的矩阵; ✅3. 对于实对称矩阵,相似必定意味着合同; ...
(三)矩阵的相似 1、定义: n阶方阵A,B,若存在一个可逆矩阵P使得 成立,则称矩阵A,B相似,记为 。 2、性质: 性质3 (1)反身性 ; (2)对称性 由 即得 ; (3)传递性 和 即得 总之,合同是一种矩阵之间的等价关系,而且经过非退化的线性替换,新二次型的矩阵与原二次型矩阵是合同的. (4) (其中 是任意...
1、等价,相似和合同三者都是等价关系。 2、矩阵相似或合同必等价,反之不一定成立。 3、矩阵等价,只需满足两矩阵之间可以通过一系列可逆变换,也即若干可逆矩阵相乘得到。 4、矩阵相似,则存在可逆矩阵P使得,AP=PB。 5、矩阵合同,则存在可逆矩阵P使得,P^TAP=B。