矩阵的二范数是矩阵A的转置乘以A的最大特征值的平方根,表示矩阵对任何单位向量应用的最大拉伸。矩阵的二范数是矩阵A的转置乘以A的最大特征值
矩阵的二范数,通常也被称为谱范数或Frobenius范数(但需注意,Frobenius范数更常用于区分矩阵元素整体的范数,而谱范数特指矩阵作为线性变换时的算子范数),不过在这里我们主要讨论谱范数。 对于任意给定的矩阵A∈Rm×nA \in \mathbb{R}^{m \times n}A∈Rm×n(或复数域上的矩阵,但为简化讨论,这里我们假设是实数矩...
矩阵的二范数具有以下性质: -非负性:对于任意矩阵A,有,A,2≥0,且当且仅当A=0时,A,2=0。 -齐次性:对于任意标量α和矩阵A,有,αA,2=,α,,A,2 -三角不等式:对于任意矩阵A和B,有,A+B,2≤,A,2+,B,2 2.计算方法 A,2 = σmax(A) = max( σ1, σ2, …, σr ) 其中σ1,σ2,…,...
矩阵的二范数,也称为谱范数,是指矩阵的最x大奇异值。奇异值是矩阵的共轭转置矩阵的特征值。对于一个给定的矩阵 ( A ),其二范数定义为 ( lVert A Vert_2 = max_{lambda in sigma(A)} |lambda| ),其中 ( sigma(A) ) 是矩阵 ( A ) 的奇异值集合。 而矩阵的F范数,也称为Frobenius范数,是指在数学...
title: "矩阵的二范数为何等于其奇异值" tags: math 背景 上《线性系统理论》这门课,提到了矩阵的二范数,即等式: ‖A‖2=λmax 然后中文搜了一堆,没有系统地说明怎么得到的。最后在Wikipedia^1中找到了详细推导的来源,也就是这本书[^2]中找到了详细的推导。故记录如下。 Frobenius Matrix Norm 与 Induced...
矩阵的2范数,也称为谱范数,是矩阵最大的奇异值。对于任何\( m \times n \)的矩阵\( A \),其2范数定义为: \[ \Vert A \Vert_2 = \max_{\Vert x \Vert_2 = 1} \Vert A x \Vert_2 \] 其中\( \Vert x \Vert_2 \)表示向量\( x \)的欧几里得范数(即向量的2范数)。在数值线性代数中...
求解矩阵二范数的方法有多种,其中比较常用的是基于奇异值分解的方法。 奇异值分解是指将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积,即A=UΣV^T,其中U和V都是正交矩阵,Σ是一个对角线上的矩阵,对角线上的元素称为奇异值。矩阵A的二范数就等于奇异值的最大值。 在实际计算中,由于矩阵的奇异值分解比较复杂,因此需要使用...
要更好的理解范数,就要从函数、几何与矩阵的角度去理解,我尽量讲的通俗一些。 我们都知道,函数与几何图形往往是有对应的关系,这个很好想象,特别是在三维以下的空间内,函数是几何图像的数学概括,而几何图像是函数的高度形象化,比如一个函数对应几何空间上若干点组成的图形。
谱半径ρ(A)的特征值的绝对值的最大值 矩阵A的2范数是A的最大奇异值,即ATA的最大特征值的算术平方根 ‖A‖2=λmax(ATA) 矩阵A的F范数 ‖A‖F2=Tr(ATA)=∑i=1nλi,λi为ATA的特征值 ‖A‖F2≥‖A‖22⟹‖A‖F≥‖A‖2 谱半径不大于矩阵范数 ...