一、正定矩阵的概念及其基本性质 定义 假设实对称矩阵 A 满足对于任意的非零向量 \alpha\in \mathbb{R}^n ,都有 \alpha^TA\alpha>0 ,则称 A 为正定矩阵.显然 A 的正惯性指数等于 n ,进而 A 合同于单位矩阵 I …
什么是正定矩阵?① 在不考虑复数构成的矩阵情况下,正定矩阵还是很简单的。 ② 定义:给定一个大小为 n\times n 的实对称矩阵 A ,若对于任意长度为 n 的非零向量 \boldsymbol{x} ,有 \boldsymbol{x}^TA\boldsym…
从定义可以看出，正定矩阵的本质是一种二次型，它表示了一个向量在矩阵作用下的变化程度。正定矩阵的二次型总是正的，这意味着向量在矩阵作用下总是变大，或者说矩阵总是增加向量的长度。二、正定矩阵的性质 正定矩阵有许多有用的性质，这些性质可以帮助我们判断一个矩阵是否是正定的，以及利用正定矩阵进行各种计算...
正定矩阵是一种在数学和物理中常见的矩阵，它有许多重要的性质和应用。正定矩阵的定义是：对于任意非零向量 x，都有 x^TAx>0，其中 A 是一个对称的或埃尔米特的矩阵，x^T 表示 x 的转置或共轭转置。这个定义可以理解为正定矩阵把任意向量都映射到一个正的数上，所以它可以看作是一种正的算子。正定矩阵有很...
正定矩阵是一种实对称矩阵。1、在线性代数中，正定矩阵的性质类似复数中的正实数。正数是数学术语，比0大的数叫正数，0本身不算正数。在实数上可以定义这样一个函数，它对正数取值为 1，负数取值为 −1，0 取值为 0。这个函数通常被称为符号函数。2、B为n阶矩阵，E为单位矩阵，a为正实数，在a充分大时，...
1、Hessian阵、正定阵与负定阵 黑塞矩阵(Hessian矩阵):是一个多元函数的二阶偏导数构成的方阵,描述了函数的局部曲率。黑塞矩阵常用于牛顿法解决优化问题,利用黑塞矩阵可判定多元函数的极值问题。在工程实际问题的优化设计中,为了使问题简化,常常将目标函数在某点邻域展开成泰勒多项式来逼近原函数,此时函数在某点泰勒展...
1.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A的 n 个特征值全是正数.证明:若 ,则有 ∴λ>0 反之,必存在U使 即有这就证明了A正定.由上面的判别正定性的方法,不难得到A为半正定矩阵的充要条件是:A的特征值全部非负.2.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E....
在线性代数里，正定矩阵 (positive definite matrix) 有时会简称为正定阵。在线性代数中，正定矩阵的性质类似复数中的正实数。与正定矩阵相对应的线性算子是对称正定双线性形式（复域中则对应埃尔米特正定双线性形式）。如果AAT=E（E为单位矩阵，AT表示“矩阵A的转置矩阵”）或ATA=E，则n阶实矩阵A称为...
正定矩阵是一种实对称矩阵。在线性代数里，正定矩阵 (positive definite matrix) 有时会简称为正定阵。在线性代数中，正定矩阵的性质类似复数中的正实数。与正定矩阵相对应的线性算子是对称正定双线性形式（复域中则对应埃尔米特正定双线性形式）。正定矩阵有以下性质：（1）正定矩阵的行列式恒为正。（2）...
主元如果全是正的,那么它的各阶主子式肯定也都是正的(正定可逆)。另外也可以通过正定矩阵对最后一行消元,由于是对称阵,所以最后一行只会剩下最后一个元素,因为最后一列也消元了。而剩下的这最后一个元素由于是主元,所以一定是正的,那剩下的部分,也就是n-1阶主子...