5. 欧拉-麦克劳林公式的另一种形式 6. Stirling公式与Stirling数 1. 前言 Euler-Maclaurin公式在分析中起着重要作用,特别是,为了得到具体的包络和渐进展开,时常要用这个公式。 说简单点就是,这个公式建立了函数的积分与其导数的联系。在数值积分理论与级数求和法中,Euler-Maclaurin公式是一个极有用的工具。 接下来...
就像泰勒和麦克劳林发现了泰勒级数和麦克劳林级数一样，任意一个函数都可以展开写成无穷多项式形式 泰勒级数原理：幂级数的和如果是一个具有所有阶导数的连续函数，但反过来如果一个函数在一个区间上具有各阶导数，它能否表示成一个幂级数吗？他的系数是什么？发现三角函数级数形式的过程原理 欧拉和麦克老林从级数原理出发...
如果将定积分的下限改为1，下图左边的式子就变成了右边的样式，且0次导数中的减号要变成加号，右边式子的推导留给有兴趣的朋友，但必须精通数学分析微积分所有知识，所以定积分下限为1的积分求和欧拉-麦克劳林公式如下样式 都知道欧拉是第一个得出自然数平方倒数和等于π^/6的数学家，轰动一时 我们现在就用欧拉-麦克...
欧拉-麦克劳林求和公式在1735年由莱昂哈德·欧拉与科林·麦克劳林分别独立发现，该公式提供了一个联系积分与求和的方法。公式 对任意整数 及任意 上的 函数 ，有 其中 .其它形式 欧拉-麦克劳林求和公式：设 是定义在 的函数, 都具有相同的符号 , 且当 时, 有 .其中，欧拉-麦克劳林求和公式: 设函数 ,,,，则 其...
∑k=ab−1F(k)[g(k+1)−g(k)]=F(b)g(b)−F(a)g(a)−∫abF(x)g′(x)dx这就是阿贝尔定理的主要形式,其价值在于将求和式转换为积分形式,并利用分部积分的思想来消除差分项。 有了阿贝尔定理这个强有力的工具,便可着手解剖Euler-Maclaurin公式了。
奇异欧拉-麦克劳林展开式的第一个简单应用是计算著名的Euler-Mascheroni常数γ,它在Mathematica中作为EulerGamma实现。人们对这个难以捉摸的数量知之甚少。例如,γ是否是无理数是数学中的一个悬而未决的问题: 它的值是一个和与一个积分之间的差的极限: 然后我们可以将SEM扩展应用于和与积分之间的差异,它仅由零阶贡献...
1242 -- 12:56 App 高数基础证明欧拉麦克劳林展开(证明) 1.4万 -- 1:53 App 麦克劳林公式,一数一哥讲解。 1764 -- 32:01 App 高数基础证明:欧拉麦克劳林展开-准备工作 1702 3 13:15 App 【高等数学】常用初等函数的麦克劳林公式推导 1679 -- 6:34 App 伯努利数(三)——伯努利多项式与欧拉——...
在文献中看到如下两个发散级数之差,说是通过欧拉-麦克劳林求和处理可得到收敛结果: ∑k=1∞k−∑k=1∞(k+α)=α(1+α)/2, 其中的 0<α<1 。我查了欧拉-麦克劳林求和公式,它是关于有限项求和的,似乎不能直接套用。还有个相关的拉马努金和,我照着算了一下,结果是 \alpha/2 ,跟文献对不上。最困惑...
这样就有\int_0^1u(x)\text dx =\frac{u(0)+u(1)}{2}+\sum_{k=2}^n\left[u^{(k-1...