欧拉-拉格朗日方程(Euler-Lagrange equation)简称E-L方程,在力学中则往往称为拉格朗日方程。正如上面所说,变分法的关键定理是欧拉-拉格朗日方程。它对应于泛函的临界点。 值得指出的是,E-L方程只是泛函有极值的必要条件,并不是充分条件。就是说,当泛函有极值时,E-L方程成立。在应用中,外界给定的条件可以使得E-L...
欧拉方程是J[y(x)]取极值于y=y(x)的必要条件,欧拉方程的解的曲线称为平稳曲线或极值曲线,只有在极值曲线上,泛函才能达到极值 欧拉方程的应用之一便是分析力学里面的拉格朗日方程,根据哈密顿原理,在一切容许的运动中(参考虚位移的概念),质点组的真实运动满足积分 S=∫t1t2L(q,dqdt,t)dt 取极值的必要条件δ...
【原理】欧拉-拉格朗日方程是一条带微分的方程，它是由拉格朗日变分法推出的，其形式如下：$$\frac{\delta\Psi}{\delta y_i}=0$$其中，$y_i$是需要求导的函数的变量；$\Psi$是不可微的函数，它是拉格朗日函数，也叫做动作函数。具体地说，拉格朗日变分法要求最后计算出的函数值极大时其微分值应该为零，这样...
就可以从欧拉-拉格朗日方程中读出动量是否守恒。为此，其时间导数必须为零。所以只需要计算"L关于q"的导...
欧拉-拉格朗日方程可以从变分原理(principle of least action)推导而来,该原理认为自然界中的运动路径是使作用量(action)取极小值的路径。作用量定义为质点或系统在一段时间内所受到的所有力所做的功之和。 欧拉-拉格朗日方程的表达式 对于一个质点或系统,在广义坐标 和广义速度 下,其动能 和势能 可以表示为: 其中...
这就是欧拉-拉格朗日方程(Euler-Lagrage equation),可以帮助我们求解泛函下的极值,这里L是已知的。它的最初的思想来源于微积分中“可导的极值点一定是稳定点(临界点)”。它的思想在于:假定当前泛函的解已知,那么这个解必然使得泛函取得最小值(假定是最小值)。换言之,只要在泛函中加入任何扰动,都会使泛函的值变大...
欧拉-拉格朗日方程就是这样一种强大的工具,起源于最小作用原理,被广泛应用于经典力学和量子力学等众多领域。这一方程的命名者,欧拉和拉格朗日,都是数学和物理学史上的巨人,他们的贡献给我们留下了持久的烙印。对欧拉-拉格朗日方程的理解和应用,不仅可以让我们揭示自然现象的深层规律,也有助于我们在复杂问题求解中找到...
将这两部分代入欧拉-拉格朗日方程,最终得到的解是一条旋线(cycloid),即: 其中和是常数。 2.作用量最小化和哈密顿原理 在经典力学中,哈密顿原理指出,一个系统沿着使作用量(Action)最小时的路径演化。作用量定义为: 其中是拉格朗日量,是广义坐标,是其时间导数。
有了欧拉-拉格朗日方程,终于可以计算最速降线的最优解: 其中f = f(t)。由于: 将①代入: 现在,使用参数方程: 之所以令f’ = cot(θ/2),是因为在θ的定义域[0, 2π]上,f’可以取任意值: y = cot(x/2), 0 ≤ x ≤ 2π 上式最终将f(t)转换为关于θ的函数,对上式直接求导: ...