本文是代数几何中的曲线专题第四篇 , 主要内容是椭圆曲线 , 原文源于 Hartshorne 的经典著作《代数几何》 . 椭圆曲线即是亏格为 1 的曲线的相关理论是十分丰富的 , 这是一个很好的例子 , 椭圆曲线反映出抽象代数几何 , 复分析以及数论之间的深刻联系 . 我们打算讨论一下与椭圆曲线有关的一些课题并深入介绍椭圆...
退化的椭圆曲线 这条曲线有一个尖锐的点,称作尖点(cusp)。顾名思义,这条曲线就好比是有理曲线上捏出一个尖点。 除了以上两种曲线,我们还把以下几类曲线都统称为退化的椭圆曲线: (3) 三条直线的并集(即三条一次曲线的并集), (4)一条圆锥曲线和一条直线的并集(即一条二次曲线和一条一次曲线的并集)。 从...
尽管椭圆曲线的正式定义需要一定的代数几何背景,在实数上的椭圆曲线的一些特征可以使用入门级别的代数与几何来描绘。 在这种情况下,椭圆曲线是由下列方程定义的平面曲线: 其中a和b为实数。这类方程被称为魏尔斯特拉斯方程。 椭圆曲线的定义也要求曲线是非奇异的。几何上来说,这意味着图像里面没有尖点、自相交或孤立...
椭圆曲线[elliptic curve]是亏格为1的光滑射影曲线[smooth projective curve],同时我们还要求在该曲线上取一个固定的点。因其清晰的拓扑性质,优美的几何性质,和深刻的算术性质,椭圆曲线深获古今数学家的关注,甚至,它在现代密码学中都有着广泛的应用。 椭圆曲线可以定义在任意的域上。当的...
在椭圆曲线的研究中，数学家们特别关注其有理解 —— 即曲线上 x 值和 y 值都是有理数的点。俄亥俄州立大学的 Jennifer Park 表示：这实际上是人类数学历史上最古老的问题之一。虽然找到简单类型方程的有理解相对直接，但椭圆曲线是真正存在许多未解问题的第一类方程，布朗大学的 Joseph Silverman 说道。「这仅仅...
椭圆曲线 一般来说，如果f(x)表示具有非零判别式的三次多项式（即所有的根都是不同的），那么y^2= f(x)描述的是一条椭圆曲线，除了“无穷远点”（即椭圆曲线上点在加法运算下构成的群中的单位元）。现在，通过一个小小的代数技巧，我们可以对坐标进行适当的（有理）改变，并得到一条形式为 的新曲线，使得...
最著名的例子就是费马大定理的证明，这个数学史上的难题在椭圆曲线的帮助下，得以在1994年被安德鲁·怀尔斯成功解答。椭圆曲线与霍奇猜想的关联显得尤其引人入胜。霍奇猜想，这个现代数学中的重要未解问题，尝试通过特定的数学对象——霍奇环，揭示复杂几何形状如椭圆曲线的内在性质。它的目标是将抽象的拓扑问题转化为更...
1)椭圆曲线方程的一般形式:y^2 = x^3 + a*x + b,其中要求满足不等式 4*a^3 + 27*b^2 ≠ 0 例如:y^2 = x^3 + x + 1 mod 23 2)椭圆曲线上的点的加法公式(适用于 P ≠ Q 的情况):设 P = (x1, y1),Q = (x2, y2),P + Q = R = (x3, y3),t = (y2-y1)/(x2-x1)...
椭圆曲线加法运算的规则中“取交点的对称点”正是与上述求解过程及其相似。 对于加法运算也有另外一种描述:若椭圆曲线上三个点在同一直线上,则他们的和为O,也即是P+Q+R′=O,其中的O是无穷远点或者零点。 更完整的椭圆曲线加法运算规则如下: 1、O+O=O,对任意的P,有P+O=P;O看做零点,对加法运算没有实际...
本文主要介绍椭圆曲线的基本原理以及基于椭圆曲线的密码学实现,包括ECC加密、ECDH秘钥交换以及ECDSA签名算法,并介绍其中潜在的一些安全问题。其中分析了两个ECC实现相关的真实案例,分别是索尼PS3的签名问题和美国国家安全局NSA留下的椭圆曲线后门。 前言 上周写过一篇关于RSA实现的介绍文章。相对于RSA对称加密,椭圆曲线加密...