本文是代数几何中的曲线专题第四篇 , 主要内容是椭圆曲线 , 原文源于 Hartshorne 的经典著作《代数几何》 . 椭圆曲线即是亏格为 1 的曲线的相关理论是十分丰富的 , 这是一个很好的例子 , 椭圆曲线反映出抽象代数几何 , 复分析以及数论之间的深刻联系 . 我们打算讨论一下与椭圆曲线有关的一些课题并深入介绍椭圆...
椭圆曲线最初从对椭圆周长的研究中引出,因此得名。它是一个重要的数学对象,与数学中许多分支有关联,例如Fermat大定理的证明就与一类特殊的椭圆曲线有关。 在常见的密码学教材中,对椭圆曲线的介绍主要在于说明椭圆曲线上的点关于点加法构成一个Abel群。但密码学对于椭圆曲线的应用已经不局限于其具有的群结构,因此包括...
椭圆曲线的神奇之处在于，我们可以在椭圆曲线上的有理数点（也就是说，x和y坐标都是有理数）之间定义一个运算（称它为“⊕”），这样曲线上这些点的集合就变成了一个关于运算“⊕”和单位元素𝒪（无穷远处的点）的阿贝尔群。让我们定义这个运算。如果你在曲线上取两个有理点（例如P和Q），并考虑一条经过...
最著名的例子就是费马大定理的证明，这个数学史上的难题在椭圆曲线的帮助下，得以在1994年被安德鲁·怀尔斯成功解答。椭圆曲线与霍奇猜想的关联显得尤其引人入胜。霍奇猜想，这个现代数学中的重要未解问题，尝试通过特定的数学对象——霍奇环，揭示复杂几何形状如椭圆曲线的内在性质。它的目标是将抽象的拓扑问题转化为更...
在椭圆曲线的研究中，数学家们特别关注其有理解 —— 即曲线上 x 值和 y 值都是有理数的点。俄亥俄州立大学的 Jennifer Park 表示：这实际上是人类数学历史上最古老的问题之一。虽然找到简单类型方程的有理解相对直接，但椭圆曲线是真正存在许多未解问题的第一类方程，布朗大学的 Joseph Silverman 说道。「这仅仅...
椭圆曲线指的是由韦尔斯特拉斯（Weierstrass）方程 y2+a1xy+a3y=x3+a2x2+a4x+a6 所确定的平面曲线。若F是一个域，ai ∈F,i=1,2,…,6。满足式1的数偶(x,y)称为F域上的椭圆曲线E的点。F域可以是有理数域，还可以是有限域GF(Pr)。椭圆曲线通常用E表示。除了曲线E的所有点外，尚需加上一个叫做...
一、椭圆曲线 椭圆曲线最早出现在17世纪，当时数学家们开始研究如何求解“立方三角形”的问题。这个问题涉及到三个整数a、b、c，使得a^3 + b^3 = c^3。数学家费马在研究这个问题时，发现了椭圆曲线的一些性质，并提出了著名的“费马大定理”。这个定理指出：当n>2时，a^n + b^n = c^n在整数范围内没...
椭圆曲线可不是咱们平常看到的那种简单曲线,它的方程一般是y² = x³ + ax +b这种形式哦,这里的a和b是有理数呢。那要对它分类呀,就像是给一群有独特个性的小伙伴分类一样。我们得从曲线的一些特殊点、它的亏格、它的同构类这些方面去考虑。比如说,有些椭圆曲线在有理数域上可能会有一些特殊的整点,...
首先,许多数论问题可以转化为丢番图方程的问题,其次,椭圆曲线与被称为格子(lattices)的离散几何对象有关,并与一些非常重要的被称为模形式的对象密切相关,这些对象是一些极其对称的复函数,其中包含大量的数论信息。 实际上,椭圆曲线和模形式之间的联系是证明费马大定理的关键,安德鲁・怀尔斯在 20 世纪 90 年代通过几...