公式f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_L\frac{f(z)}{z-z_0}dz 称为柯西积分公式。 4. 高阶导数公式 由于求导与积分运算是线性的,次序可以交换,我们把柯西积分公式两边反复对 z_0 求导,可得: f'(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_L\frac{f(z)}{(z-z_0)^2}dz f''(z_0)=\frac{1...
柯西积分公式是一把钥匙，他开启了许多方法与定理；他刻画了解析函数的又一种定义；人们对它的研究极具意义，让解析函数论能够单独脱离于实函数。通过柯西积分公式就可以把解析函数f(z)在简单闭曲线C的内部任意一点处的值由边界C上的值表示。这是解析函数的又一特征。柯西积分公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路...
柯西积分定理的证明: 对任意 z\in \mathbb{C}-\gamma , \displaystyle{\frac{\phi(w)}{w-z}} 在\gamma 上连续, \gamma 可求长, 故 G(z) 存在. 要证连续性,只需要考虑 z 处的一个充分小的闭区域 D (与 \gamma无交), \displaystyle{\frac{\phi(w)}{w-z}}在\gamma\times D 上一致连续,...
1. 柯西积分定理：柯西积分定理说明，在解析函数f(z)的条件下，如果一个闭合曲线C完全位于解析函数所在的区域内，那么这个曲线上的积分值为0。换句话说，如果f(z)是解析函数，则∮C f(z)dz = 0。这个定理可以通过解析函数的柯西－黎曼方程来证明。例如，考虑一个简单的情况：f(z) = 1/z，其中C是一个...
在微积分历史上，柯西处于早期开拓者和现代数学家之间的位置。前辈们创立了一个充满直觉与质朴的领域，而来自贝克莱主教的质疑使得数学家们想尽办法维护自己的尊严[2]。在柯西之前，牛顿和莱布尼茨依据他们各自的思想独立地创建了微积分原理。牛顿建立微积分的过程中有两大类思想。第一类思想建立在无限小量的基础之上，...
柯西型积分(integralofCauchytype)是原本适用于解析函数的柯西积分表达式在连续函数情形的一种推广。在复变函数理论中，柯西型积分具有重要的地位，它是柯西积分的推广，柯西积分是柯西型积分的特殊情况。基本介绍 定义 定理 对于简单光滑曲线如果函数在上连续，则积分存在，我们称之为柯西型积分。设在简单光滑曲线L上...
柯西重复积分公式是由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西在19世纪提出的。这个公式在复变函数论中有着广泛的应用。它不仅可以用来计算一维函数的积分,还可以推广到多维情况下。 柯西重复积分公式的一般形式可以表示为: ∮C f(z)dz = 2πi∑(res(f, zi)) 其中,∮C f(z)dz表示沿着曲线C的积分,f(z)表示被积函...
柯西主值积分是以特殊方式定义的反常积分，其值又称为相应积分的柯西主值。简介 若一元函数 在 上 以的内点 为惟一瑕点，则当 存在（有限）时，此极限值称为 在 上关于 的柯西主值，记为 这里 P.V.是主值的英文principal value的缩写。反常积分 定积分的积分区间都是有限的，被积函数都是有界的。
柯西主值积分(Cauchy Principal Value Integral)是一种特殊的反常积分,其值被称为相应积分的柯西主值。在数学分析中,定积分的积分区间通常是有限的,被积函数也是有界的。然而,在实际应用和理论研究中,经常会遇到一些在无限区间上定义的函数或有限区间上的无界函数,对这类函数也需要考虑类似于...